相対位相についての質問です

(X,U)を位相空間とします。A⊂X　Aに相対位相UAを入れます。

M⊂Aについて、
「Mが(A,UA)の閉集合であること」と「M＝F∩Aとなる(X,U)の閉集合Fが存在すること」は同値であることを示せません。
ヒントや方針だけでも十分なので、教えていただきたいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 23:38

M が (A,UA) の閉集合である

⇔　M の A における補集合が (A,UA) の開集合である
⇔　Mの補集合∩A=O∩A となる (X,U) の開集合 O が存在する
⇔　M∪(Aの補集合)=(Oの補集合)∪(Aの補集合) となる (X,U) の開集合 O が存在する
⇔　(M∪(Aの補集合))∩A=((Oの補集合)∪(Aの補集合))∩A となる (X,U) の開集合 O が存在する
⇔　M=(Oの補集合)∩A となる (X,U) の開集合 O が存在する
⇔　M=F∩A となる (X,U) の閉集合 F が存在する