電磁気学についての質問です。毎回すみません。教科書の、電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布して

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質問者：entalpiikun
質問日時：2021/06/11 18:26
回答数：3件

電磁気学についての質問です。
毎回すみません。

教科書の、
電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布しているとき、これの作る電場はどうなるか？という問です。

ガウスの法則で、r＞a の時は、E=0なので、
Q/4πε0r となるのは分かるのですが、
r＜a の場合は、 Q/(4πε0) 3a^2－r^2/2a^3 と答えがなっていて、理解できません。

電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布しているとき、これの作る電場はどうなるか？

答えは下記のようになっています。
色々とすみません。

補足日時：2021/06/11 20:21
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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2021/06/12 14:52

No.1&2 です。

その問題であれば
a<r のとき E = Q/(4パイε0*r^2)
r<a のとき E = 0
でしょう。

おそらく、その解答からすると
「電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布している」
ではなく
「電荷Qが、半径aの球内に一様に分布している」
なのではないかと思います。

その場合には、球内の電荷密度が
　Q/[(4/3)パイa^3]
になるので、r<a のときにはガウス面の内部の電荷は
　Q' = {Q/[(4/3)パイa^3]} × (4/3)パイr^3 = (r^3 /a^3)Q
ガウス面の表面積は
　S' = 4パイr^2
なので、ガウスの法則により
　Q'/ε0 = E * S'
従って
　E = [Q/(4パイε0*r^2)](r^3 /a^3) = Qr/(4パイε0*a^3)]　　　①

a<r のときは、
　E = Q/(4パイε0*r^2)　　　　　②

求めるものが「電場」ではなく「電位」であれば、この電場による静電力に逆らって、基準点（無限遠）から「単位電荷」を運んで来る仕事が「電位」なので

a<r のとき：
　V(r) = -∫[∞→r]{Q/(4パイε0*R^2)}dR
　　　= -[Q/(4パイε0)]∫[∞→r](1/R^2)dR
　　　= -[Q/(4パイε0)][-1/R][∞→r]
　　　= Q/(4パイε0*r)

r<a のとき
　V(r) = -∫[∞→a]{Q/(4パイε0*R^2)}dR - ∫[a→r]{QR/(4パイε0*a^3)]}dR
= -[Q/(4パイε0)]∫[∞→a](1/R^2)dR - [Q/(4パイε0*a^3)]∫[a→r]RdR
= -Q/(4パイε0)[-1/R][∞→a] - [Q/(4パイε0*a^3)][R^2 /2][a→r]
= Q/(4パイε0*a) - [Q/(4パイε0*a^3)](r^2 - a^2)/2
= [Q/(4パイε0)][1/a - (1/2)r^2 /a^3 + (1/2)(1/a)]
= [Q/(4パイε0)][(3/2)(1/a) - (1/2)r^2 /a^3]
= [Q/(4パイε0)](3a^2 - r^2)/(2a^3)

ということで、「問題文」が2重に違っていて、
(1) 電荷は「半径aの球面上に一様に分布」ではなく「半径aの球内に一様に分布」
(2) 求めるものは「電場」ではなく「電位」
であれば、お示しの解答に一致します。