単振り子について質問です。 画像のような状況において、よく単振り子では、接線方向の力である mgsi

単振り子について質問です。 画像のような状況において、よく単振り子では、接線方向の力である mgsinθ だけに注目して、 ma=-mgsinθ と運動方程式を立てますが、接線と垂直な方向にも S-mgcosθ の向心力がはたらいてますよね？これによって生じる加速度をbとすると、垂直方向の運動方程式は、 mb=S-mgcosθ となり、aとbをベクトルとして合成したものが真の加速度となるように思うのですが、違うのでしょうか？ どなたかわかる方いらっしゃいましたら、教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

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    補足日時：2021/06/25 16:33

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/25 15:54

＞これによって生じる加速度をbとすると、

接線と垂直方向、つまり半径方向は、「振り子の糸の長さが一定」なので加速度は生じません。
「向心力 = 糸の張力」で「つり合って」いるので
　S - mgcosθ = 0
つまり
　b = 0
です。

上記のように、振り子の運動は「円周方向」つまり「接線方向」だけの動きなので、接線方向の力だけで運動が記述できます。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/06/25 16:23

あなたの指摘通りです。

接線方向にも半径方向にも加速度が生じる。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/06/25 16:39

No.1 です。

失礼しました。
「円運動」をしているからには、径方向に加速度が働いていますね。

ただ、「振り子」の「復元力」になるのは「円周方向」つまり「接線方向」の力なので、単振動としては接線方向だけで運動が記述できます。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/06/25 17:04

はい、その図において接線方向にもそれと垂直方向にも

加速度は生じています。
そしてその２つの合成が真の加速度です。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/25 17:14

あなたの思う通り厳密には加速度ｂが存在するので　図のおもりの軌道は円を描きます

でも、単振り子の場合は加速度bが存在したままでは考えづらいので、
おもりの振れ幅がとても小さい　という条件を付けて考えているのです。
すると、数式処理では近似が使えるし
おもりの運動がほぼ水平運動とみなせるので、接線方向のｂは扱う必要がなくなるのです
（この条件がなくなった瞬間　近似は使えなくなり、水平運動とはみなしがたくなるので　mgsinθだけに着目していれば良いというわけにはいかなくなります）

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2021/06/25 17:15

概ねその通りですが、この場合は接線方向の運動だけに注目しているので向心力は影響されません。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/25 17:53

別に考え方はおかしくないのですが、円運動を

デカルト座標で考えるのは非効率です。

回転系として捉えれば(Lとθの極座標を使えば)
慣性モーメント = mL^2
トルクは mgLsinθ
なので、運動方程式は厳密に

mL^2・d^2θ/dt^2 = -mgLsinθ
L・(d^2θ/dt^2) = -gsinθ

回転系として捉えた場合、
Lは変化せず、
Lを一定に保つ束縛力S(張力)にはトルクはないので
無視できます。

座標系を工夫して系を表すパラメータを系の自由度の
個数にまで下げ、束縛力を無視するのは物理の常套手段です。

L・(d^2θ/dt^2) = -gsinθ　は θ がゼロに近いとき
L・(d^2θ/dt^2) ≒ -gθ
と近似できるので、近似解は単振動になります。

Sは運動方程式に陽に現れませんが、後で
S - mgcosθ= mL(dθ/dt)^2
から求めることができます。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/25 19:40

そのとおり。

あたりまえです。

加速度 b があるからこそ、おもりは単振動をするのです。
おもりにかかる加速度が a だけだったとすれば、
それは単振動の軌道の接線方向を向いており
おもりの速度と平行です。加速度が速度と平行なら、
おもりの運動は直線運動になってしまい、弧を描きません。
b があり、おもりの加速度は a+b だからこそ、
単振動になります。

単振動の軌道は、おもりを吊るす糸の長さが一定という条件から
ひとつの円周上に束縛されています。自由度1の運動なので、
ひとつ変量についての微分方程式を解けば、運動が決定されます。
そこで、接線方向の動きだけに注目して計算するのですが、
その裏で、b は運動に不可欠なものとして存在しているのです。
ただ、我々が計算に使わないだけで。