No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そのやり方でいいんですよ。
x^2 - 2xy + y^2 - y = 0 に
x = Xcosθ + Ysinθ, y = X(- sinθ) + Ycosθ を代入すると、
0 = (X^2){ (cosθ)^2 + 2(cosθ) (sinθ) }
+ (XY){ 2(sinθ)^2 - 2 (cosθ)^2 - 2(cosθ)(sinθ) + 2(sinθ)(cosθ) }
+ (Y^2){ (sinθ)^2 + (cosθ)^2 - 2(sinθ) (cosθ) }
+ X{ (sinθ)+ X(sinθ)^2 } - Y(cosθ)
= (X^2)(cosθ){ cosθ + 2 sinθ }
+ 2(XY){ - cos(2θ) }
+ (Y^2)(sinθ - cosθ)^2
+ X(sinθ){ 1 + (sinθ) } - Y(cosθ).
X, Y の式から XY の項が消えるように 2θ = π/2 を代入してみると、
0 = (X^2)(3/2) + X(1 + √2)/2 - Y/√2.
変形して、
Y = (3/√2){ X + (1+√2)/6 }^2 - (4 + 3√2)/24.
この式は、Y = (3/√2)X^2 を
原点中心反時計回りに - π/4 だけ回転(時計回りに π/4 だけ回転)して、
X軸方向に - (1+√2)/6、Y軸方向に - (4 + 3√2)/24 平行移動した
ものを表しています。放物線ですね。
No.1
- 回答日時:
微分して増減表を書いていくのが確実かと
与えられた方程式をyで降べきの順にすると
y^2-(1+2x)y+x^2=0
判別式D=(1+2x)^2-4x^2=4x+1
yが実数である条件はD>=0だから、4x+1>=0を解いてx>=-1/4
y=の形にすると
y={(1+2x)±√(4x+1)}/2
ここで場合分けをする
Y₁={(1+2x)+√(4x+1)}/2のとき
dY₁/dx=2/√(4x+1)+2
dY₁/dx=0となる値はなく、Y₁>0なので常に増加
同様にY₂={(1+2x)-√(4x+1)}/2の時も考えると
dY₂/dx=-2/√(4x+1)+2
dY₂/dxはx=0のとき0になるのでY₂は-1/4<x<0で減少、x>0で増加
x=0のときyの値は0
またx=-1/4のときy=1/4
これらをもとにグラフを書くと傾いた放物線が書けると思う
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