z ^6＝-1+√3iを解けと言う問題が分かりません。

z ^6＝-1+√3iを解けと言う問題が分かりません。

質問者からの補足コメント

• z ^6＝1やz ^3＝8iの計算などはできます。

    補足日時：2020/05/19 16:52

No.3 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2020/05/19 17:15

z＝a+bi、を極座標で表してｚ＝√(a²＋b²)*(cosθ+sinθi)

ド・モアブルの定理から
ｚ⁶＝(√(a²＋b²))⁶*(cos６θ+sin６θi)
－１＋√３iを極座標で表して＝2*(cos2Π/3+sin2Π/3i)
ｚ⁶＝(√(a²＋b²))⁶*(cos６θ+sin６θi)=2*(cos2Π/3+sin2Π/3i)
ｚ＝⁶√2*(cosΠ/9+sinΠ/9i)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/19 19:26

z^6 = -1+i√3 = 2{ cos((2/3)π) + i sin((2/3)π) } = 2 e^((2/3)πi) より、

z = { 2 e^((2/3)πi) }^(1/6) = { 2^(1/6) }{ e^((π/9)i) } = { 2^(1/6) }{ cos(π/9) + i sin(π/9) }
= { 2の6乗根 }{ cos20° + i sin20° }.

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/05/19 17:07

z=r(cosθ+i sinθ)　（ただし、0≦θ<2π）とおくと、z⁶=r⁶(cos6θ+i sin6θ)

一方、-1+√3i=(1/2){cos(2/3)π+i sin(2/3)π}だから、その2つを比べればいい。
（0≦6θ<12πに注意）

No.1 回答者： おろし大根 回答日時： 2020/05/19 16:57

z=r（cosθ+isinθ）とおいて計算すればいいのではないですか？