複素関数について質問です。 cos(π/2-iz) i 複素数 z=x+iy としたとき、上の関数の

複素関数について質問です。
cos(π/2-iz)

i 複素数
z=x+iy
としたとき、上の関数の実部と虚部はどうなりますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/05 18:24

θが実数でも虚数でも cos(π/2 - θ) = sinθ は同じこと。

また、オイラーの等式 e^iθ = cosθ + i sinθ より
sinθ = (1/2i)(e^iθ - e^-iθ)。　これらを使って

w = cos(π/2 - iz) = sin(iz) = (1/2i)(e^-z - e^z)
= (-i/2){ e^(-x-iy) - e^(x+iy) }
= (-i/2){ (e^-x)(cos y - i sin y) - (e^x)(cos y + i sin y) }
= -(i/2)(e^-x)(cos y) - (1/2)(e^-x)(sin y) + (i/2)(e^x)(cos y) - (1/2)(e^x)(sin y)
= -(1/2)(e^x + e^-x)(sin y) + i(1/2)(e^x - e^-x)(cos y).

すなわち
Re w = -(1/2)(e^x + e^-x)(sin y),
Im w = (1/2)(e^x - e^-x)(cos y).

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/05 08:59

ｗ＝cos(pi/2 - iz)=sin(iz)=sin(ix - y)

=sin(ix)*cos(y) - cos(ix)*sin(y),
ここで,
sin(ix)={e^(-x) - e^x}/(2i), cos(ix)={e^(-x)+e^x}/2.
ですから代入し、Re(w), Im(w) を求めてください。