ユークリッド空間

4次元ユークリッド空間（R^4,d2）として、A＝｛（x1,x2,x3,x4)∊R^4；(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2≦9｝のときAは閉集合か。
という問題の証明手順を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/09 00:33

A = { x∊R^4 ； d2(x,0) ≦ 3 } だが、

(R^4,d2) は開基 { B(c,r) ; c∊R^4, r>0 }
ただし B(c,r) = { x∊R^4 ； √d2(x,c) < r }
を持つので、
¬A = ∪_{√d2(c,0) - r > 3} B(c,r) は開集合。
よって、
A は閉集合。