微分方程式

微分方程式の
x^2y''+xy'-y=0
や
(1-x)y''+xy'-y=0
などのxが掛かっていて右辺が0である二階線形微分方程式の解き方がわかりません。
どなたか答えてもらえないでしょうか？

No.1 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/03 21:01

間違いなく、「斉次方程式」と「ダランベールの階数低下法」を使えば解ける典型的な計算問題です。

ただし、解法そのものは、忘れてしまいました。。。

No.2 ベストアンサー 回答者： kougakubudesu 回答日時： 2005/03/03 21:09

まず上の微分方程式から。

一般にx^iと定数係数a_i(a_iという表記は数列)とyのi階微分(d^i/dx^i)yの積の級数
Σ{i=0,n}a_i*x^i*d^i/dx^i)y=f(x)
とすると、この微分方程式をオイラーの方程式と言います。これはx(t)=exp(t) ←大事
とおいて、y=y(x)に代入して
z(t)=y(exp(t))
とzに変換するとzに関する定数係数のn階線形微分方程式になります。上の問題では、変換して整理すると
z''-z=０
となりこれを解いて,yに戻せば一般解は
　　y=Ax+B/x (A,Bは積分定数)
となります。

次に二番目の方程式。
このタイプはとりあえず特解をさがしましょう。←大事
特解はy1=exp(λx)と置いてみます。←大事
そして代入して整理すると
(1-x)λ^２+xλ-１=０ (A)
となります。因数分解すると
(λ-１){(１-x)λ+1}=０ (B)
ここで、特解を代入して(A)になったのは、λを定数として考えて代入したからなので,(B)の解の
λ=1/(x-1)
は不適。よって
λ=1となり
y1=exp(x)
となります。
次に別の特解をy2=c(x)y1と置きます。←大事
これを与微分方程式に代入して整理すると
c''(１-x)+c'(２-x)=０
ここで
z(x)=c'(x) ←大事
と置くと
z'(１-x)+z(２-x)=０
となり、変数分離してzについて解くと
z=A(１-x)exp(-x)
よってこれを積分するとc(x)なので解いて
c(x)=Ax*exp(-x)+D
よって
y2={Ax*exp(-x)+D}exp(x)=A+Dexp(x)
よって一般解yは
y=Ey1+Fy2=Gexp(x)+Hx
となります。
ここで,AからHまで積分定数ですが,その時に一番簡単な積分定数に直しました。

二番目の微分方程式は無理矢理解いたかもしれません。他にいい方法があるかもしれませんので他の人のも参考にして下さい。






　　



　

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2005/03/03 23:02

非斎次線形２階非定数係数微分方程式

すなわち
y"+p(x)・y'+q(x)・y=r(x)
の一般解は研究が進んでいて
y"+p(x)・y'+q(x)・y=0
のy=0以外の解が１つ求まれば求める方法が開発されています

質問の式は両方とも斎次線形２階非定数係数微分方程式ですからもっと簡単ですね
両方とも
y=x
が１つの解ですからその方法でそれぞれ一般解を求めることができます

No.4 回答者： noname#9783 回答日時： 2005/03/04 10:34

こんにちは

お聞きの方程式は、ガウスの超幾何微分方程式に属するのものと思われます。

特徴は

（ｘの二次式）ｙ’’＋（ｘの一次式）ｙ’＋定数＝０

です。

解法については、わたくしの手元にあるものでよければ次のような参考書があります。

１）超幾何・合流系超幾何微分方程式（西本敏彦著、共立出版）
２）基礎過程　微分方程式　（吉野崇他著、培風館）

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今から図書館ででも参考書を探してみます

お礼日時：2005/03/07 11:24