フェルマーの小定理より、a^5≡a（mod5）なんですか？

フェルマーの小定理より、a^5≡a（mod5）なんですか？

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/08/03 19:45

半分okだよ。

フェルマーの小定理：
pが素数でaはpの倍数で無い場合にはaᴾ⁻¹1≡1(mod p)

p=5は素数だから当てはめると
a⁴≡1(mod 5)

両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

aは5の倍数では無い、という条件が要るよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/08/03 19:53

フェルマーの小定理使わなくても簡単

a≡0,1,2,3,4(mod5)のいずれかだから

a≡0を5乗するとa⁵≡0(mod 5) 0≡aを代入するとa⁵≡a(mod 5)

a≡1を4乗するとa⁴≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡2を4乗するとa⁴≡16≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡3を4乗するとa⁴≡81≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡4を4乗するとa⁴≡256≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/08/04 07:42

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/03 23:38

a が 5 の倍数かどうかで、場合分けが必要。

a が 5 の倍数でなければ、素数 5 と互いに素だから
フェルマーの小定理より、a^4≡1 （mod5）.
両辺に a を掛けて、a^5≡a （mod5）.

a が 5 の倍数であれば、a^5 も 5 の倍数だから
a^5≡0≡a （mod5）.

いづれにせよ成立する。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/08/03 23:50

フェルマーの定理を使わなくっても, 任意の整数 a に対して

a^5-a は 5の倍数
って証明できるからなぁ.

むしろ
素数 p と任意の整数 a に対して a^p ≡ a (mod p)
からフェルマーの定理を証明する, って流れもあるので, それを念頭におくなら「フェルマーの定理より」と書くのは危険.