数学の問題です。 数列【an】に対して、bn＝1/nΣn/k＝1 ak とおく。 【bn】が等差数列

数学の問題です。
数列【an】に対して、bn＝1/nΣn/k＝1 ak とおく。
【bn】が等差数列の時、【an】が等差数列であることを示せ。

という問題で、
まずは【bn】が等差数列であるから、
bn＝pn＋q （p.qは定数）
とおき、bn＝1/nΣn/k＝1 akより、
　　Σn/k＝1 ak ＝n（pn＋q）.....①
n＝1のとき、a1＝p＋q.....（⭐︎）

ここからが質問なのですが、参考書では
n≧2のとき、①のnをn−1に置き換える
とありましたが、私は、n +1に置き換えました。
すると、参考書のやり方だと、
an＝2pn−p＋q となり、n＝1の時も（⭐︎）と成立したのですが、
私のやり方では
an＝2pn＋p＋q となり、n＝1の時、（⭐︎）と成立しませんでした。
このやり方は間違っているのでしょうか？私の計算ミスでしょうか？
詳しい方お願いします。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/08 16:10

n+1に置き換えた場合は

an=2pn+p+qとなりません

a(n+1)=2pn+p+q

となります
なのでa(1)を求めることはできません

b(n)=(1/n)Σ_{k=1～n}a(k)…①
b(n)=pn+q
b(1)=a(1)=p+q

①のnをn+1に置き換えると
b(n+1)=1/(n+1)Σ_{k=1～n+1}a(k)
b(n+1)=p(n+1)+q

nb(n)=Σ_{k=1～n}a(k)

(n+1)b(n+1)
=Σ_{k=1～n+1}a(k)
=Σ_{k=1～n}a(k)+a(n+1)
=nb(n)+a(n+1)
だから

a(n+1)
=(n+1)b(n+1)-nb(n)
=(n+1)(p(n+1)+q)-n(pn+q)
=(n+1)(pn+p+q)-pn^2-nq
=pn^2+2np+nq+p+q-pn^2-nq
=(n+1)p(n+1)+q(n+1)-pn^2-qn
=p(n^2+2n+1)+qn+q-pn^2-qn
=pn^2+2np+p+qn+q-pn^2-qn
=2pn+p+q

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/08/08 18:20

①のｎをｎ+１に置き換えるやり方だと、

a_n=2pn + p + q
ではなく、
a_(n+1)=2pn + p + q
となります。

この式で、ｎをｎ－１に置き換えると、
a_(n－1+1)=2p(n－1) + p + q
a_n=2pn－p + q
となり、参考書のやり方と同じ結果になります。

Σ[k:1→n] a_k=n(pn+q)…①

①のｎをｎ－１に置き換えると、
Σ[k:1→(n－1)] a_k=(n－1){p(n－1)+q}…②
①－②
a_n=2pn－p + q

①のｎをｎ+１に置き換えると、
Σ[k:1→(n+1)] a_k=(n+1){p(n+1)+q}…③
③－①
a_(n+1)=2pn + p + q

この回答へのお礼

なるほど！私の計算では、
S_（n＋1）−S_（n）＝a_（n＋1）
をしていたってことですね！ありがとうございました！

お礼日時：2021/08/10 12:22