マクローリン展開です。答え教えてください。

f(x) =(1 +e^x)^2/2マクローリン展開せよ

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/13 23:24

公式どおりにやるだけですよ？

f(0) = 2

f'(x) = (1 + e^x)e^x = e^x + e^2x
より
　f'(0) = 2

f''(x) = e^x + 2e^2x
より
　f''(0) = 3

f'''(x) = e^x + 4e^2x
より
　f'''(0) = 5

あるいは
　f(x) = (1 + 2e^x + e^2x)/2 = 1/2 + e^x + (1/2)e^2x
として
　f'(x) = e^x + e^2x
　f''(x) = e^x + 2e^2x
　f'''(x) = e^x + 4e^2x
　　・・・
　f(n)(x) = e^x + [2^(n - 1)]e^2x
　　・・・

よって

　f(x) = f(0) + f'(0)x + [f''(0)/2!]x^2 + [f'''(0)/3!]x^3 + ・・・
　　　= 2 + 2x + (3/2)x^2 + (5/6)x^3 + ・・・ + {[2^(n - 1) + 1]/n!}x^n + ・・・　　（n≧1）

かな。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/14 13:03

e^x は、マクローリン展開自体が関数の定義になっていますね。

e^x = Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n です。 これを代入すると、
f(x) = (1/2)( 1 + e^x )^2
　　= (1/2)( 1 + Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n )^2
　　= (1/2){ 1 + 2Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n + (Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n)^2 }
　　= 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n + (1/2)(Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n)^2
　　= 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n + (1/2)Σ[n=0→∞] Σ[k=0→n] (1/k！)x^k (1/(n-k)！)x^(n-k)
　　= 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n！)x^n + Σ[n=0→∞] (1/2){ Σ[k=0→n] (1/k！) (1/(n-k)！) } x^n
　　= 1/2 + Σ[n=0→∞] { (1/n！) + (1/2)Σ[k=0→n] (1/k！) (1/(n-k)！) } x^n
これで一応ベキ級数の形になったけど、
係数の整理もしたほうがいいのかな？
(1/n！) + (1/2)Σ[k=0→n] (1/k！) (1/(n-k)！)
　= (1/2)(1/n！){ 2 + Σ[k=0→n] n！/( k！ (n-k)！ ) }
　= (1/2)(1/n！){ 2 + Σ[k=0→n] nCk }
　= (1/2)(1/n！){ 2 + 2^n }
　= { 1 + 2^(n-1) }/n！
ですね。 これを使って、
f(x) = 1/2 + Σ[n=0→∞] { (1 + 2^(n-1)) / n！ } x^n
　　= 2 + Σ[n=1→∞] { (1 + 2^(n-1)) / n！ } x^n
となります。