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高校物理の有効数字について

締切済

質問者：質問太郎。ググ男
質問日時：2021/08/28 22:06
回答数：5件

有効数字を考慮して計算しなければいけない問題で、
6.0×3.0＋1/2×(－2.0)×3.0^2
を計算する問題があり、
6.0×3.0=18：①、1/2×(－2.0)×3.0^2=－9.0：②
と計算し、①は一の位までが有効数字で、②は少数第一位までが有効数字の引き算と考え、私の計算は、18－9.0＝９となりました。しかし、参考書を見てみると、答えが9.0となっていました。私の計算と参考書の計算は、どちらが正しいのでしょうか。

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回答 (5件)

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No.5

回答者： tknakamuri
回答日時：2021/09/03 12:21

典型的な桁落ちケース。

一桁で良いです。

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No.4

回答者： finalbento
回答日時：2021/08/30 23:18

率直に言って有効数字の問題は「物理的には何が正しいのか」と言うよりは「文脈から見てどの数字まで信用していいか(出題者はどう考えているのか)」みたいな部分が大きいと思います。

つまりは物理と言うよりは国語の問題です。なので「このような書き方の場合はどこまで信用していいのか」を読み取る必要があります。なので迷うようならテストの時に試してみる手もあります。すなわち「これこれこう言う考え方で有効数字を読み取る」とはっきり決めて解答を書き、それでいい点数だったらその考え方でよく、悲惨な点数だったら次からはその逆を書けばいいわけです。

ちなみにこの「テストで試す」は高校の時に私が実際にやった事です。有効数字の信用度がいまいち分からず(有効数字の考え方が分からないと言うよりは「こう言う書き方の時はどこまで信用すればいいか分からない」と言う感じでした)、取りあえず「有効数字の考え方をバカ正直に当てはめたらこうなるはず」と言う解答を書きました。結果は悲惨な点数でしたが、解答のさじ加減が分かったので私は満足でした。

PS:物理は好きで得意な科目だったので、さじ加減さえ分かればテストの点数はどうにでもできました。

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No.3

回答者： yhr2
回答日時：2021/08/28 23:02

こんなの、「正解」なんてありませんが、誤差評価の一貫性という観点では

「9」
でしょう。

ちょっと詳細に誤差評価をしてみます。
与えられた数値は誤差をもっていると考えて、その誤差は

6.0 → 6.0 ± 0.05
3.0 → 3.0 ± 0.05

「1/2」は誤差の関係ない「定数」とみなし
-2.0 → -2.0 ± 0.05
3.0 → 3.0 ± 0.05

とみなせます。
下記の「誤差伝播の法則」を使って誤差を含めて計算すると

　(6.0 ± 0.05) × (3.0 ± 0.05) = 18 ± √[(3.0 × 0.05)^2 + (6.0 × 0.05)^2]
　≒ 18 ± 0.3354　　　①

(1/2) × (-2.0 ± 0.05) × (3.0 ± 0.05)^2
≒ (1/2) × (-2.0 ± 0.05) × (9.0 ± 0.2121)
≒ -9.0 ± 0.3092　　　②

ですから、
　① + ② ≒ 9 ± 0.4562　　　③
ぐらいです。
この結果からは、小数点以下に精度があるとは言えません。
「9.0」と書いたら「そんな精度はないよ！」と怒られます。

まあ、高校生的には
・「有効数字2桁」なので、乗除算の結果は
　　6.0 × 3.0 = 18
　　(1/2) × (-2.0) × 3.0^2 = -9.0 × 10^0
・これらの加減算では、「18」が「１の位」までしか精度がないので、精度が保持できるのは「１の位」までで
　18 - 9.0 = 9　　　　④

④が「１の位までしか信用できない」と簡易的に判断するのは、詳細に計算すると③になるという「裏」があるからです。
「有効数字」というのは、「誤差計算」をきちんとやる代わりの「簡易処理」なのです。そこそこに「誤差のない範囲までの表示」になります。

↓　こちらの「有効数字」と「誤差伝播」を参照ください。
https://eman-physics.net/math/figures.html
https://eman-physics.net/math/figures2.html

↓　誤差伝搬の法則
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …