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数学A

9人を3人ずつの3組に分けるとき,分け方は何通りあるか。

9C3 × 6C3 × 3C3 = 1680(通り)


A
9人を3人ずつの3組に分けると
9C3 × 6C3

ここで3組の区別をなくすと3!通りずつ同じわけ方ができる。
よって
9C3 × 6C3 / 3! = 280(通り)


3!にする理由が深く分かりません。
3組の仕切り、壁をなくす、みたいなニュアンスですよね。
でも改めて解き直す時、また3!で割る考えは出ないと思います。
理解させてください。

A 回答 (5件)

3 つの組を A, B, C としますよね。



チーム A の 3 人の選び方が 9C3 通りです。
ここで仮に、田中、山田、森田の 3 人がチーム A としましょう。

チーム B の 3 人の選び方が 6C3 通りです。
ここで仮に、後藤、衛藤、川藤の 3 人がチーム B としましょう。

チーム C の 3 人は、残った 3 人ですね。

さて上記の選び方では田中、山田、森田の 3 人がチーム A に配属されましたが、別にチーム B でもチーム C でも、チームの別れ方は変わらないですよね。

というわけで田中、山田、森田がチーム A ~ C どこに入っても同じだから 3 通り。後藤、衛藤、川藤の 3 人が残る 2 チームのどこに入っても同じだから 2 通りで、3! = 6 通りの重複が起きますから、重複している分を割り算します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

わかりやすい説明で無事解決しました!

お礼日時:2021/09/03 14:13

9C3 × 6C3 × 3C3 通り と数えたときには、組が区別されています。


1つめの組に入る人の選びかたが 9C3 通り、
2つめの組に入る人の選びかたが 6C3 通りとか数えているからです。
そうすると、 #1〜#9 の 9 人を組分けした場合に
{ #1, #2, #3 }, { #4, #5, #6 }, { #7, #8, #9 } という分け方と
{ #4, #5, #6 }, { #1, #2, #3 }, { #7, #8, #9 } や
{ #7, #8, #9 }, { #1, #2, #3 }, { #4, #5, #6 } が別々に数えられています。
組に名前がついているとかの区別がなければ、これらは同じ組分けとみなせます。
{ #1, #2, #3 } と { #4, #5, #6 } と { #7, #8, #9 } の 3 個を
並べ替える場合の数だけ重複が生じていますから、
9C3 × 6C3 × 3C3 を、 3個を並べ替える場合の数 3! で割っておけばよいのです。
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(1)3人ずつ、ABCの3組に分ける場合は


9C3 × 6C3 × 3C3 = 1680(通り)
(2)3人ずつ3組に分ける場合は、A,B,Cの区別がないので1680(通り)に3!=6通りが重複しています。(1)は
A,B,C、 A,C,B、 B,A,C、 B,C,A、 C,A,B
C,B,Aを区別していますが、(2)は区別していません。
よって
9C3 × 6C3 / 3! = 280(通り)
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>9人を3人ずつの3組に分けると


>9C3 × 6C3

これは
・まず、9人の中から「ぱんだ組」に3人→これが 9C3
・残った6人の中から「こあら組」に3人→これが 6C3
・残った3人は無条件に「きりん組」→これが 3C3 = 1
ということです。

この中には、同じ3人ずつが
・「こあら組」
・「きりん組」
・「ぱんだ組」
になる場合も、
・「きりん組」
・「ぱんだ組」
・「こあら組」
になる場合なども含んでいます。「所属する組」が違うと「別なクラス分け」になるからです。
「どの組か」を区別した分け方になっています。
その「各グループの、3つの組への分け方」は
 3! とおり
です。
(3つの組の「並べ方」ということです)

なので、「どのクラスかを区別しない」(何組でもよい)という場合には、その「3!」とおりが重複することになるので、「3!」で割ってやらないといけません。
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問題をもっと単純にしてみましょう。



3人を1人ずつ3組みに分けるわけ方は?

3C1×2C1×1C1=6通りですか?

1通りなのは明らかですよね。

A、B、Cを

A、B、Cと分けても
B、A、Cと分けても
グループに順番など無いので区別しても意味ありません。

グループにD、E、Fとか名前が付いているなら話は別で
6通り、ブループに区別が無いなら 3P3でわって1通りです。
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