高校数学の問題です。 次の問題はネットで拾った模試の過去問(?)で解答が見つからず答え合わせが出来な

高校数学の問題です。
次の問題はネットで拾った模試の過去問(?)で解答が見つからず答え合わせが出来ないため回答してくださる方を募集します。早い方をベストアンサーとします。計算が非常に面倒なので回答は答えのみor答え+最小限の方針だけ　でも大丈夫です。

(問題)
aを2より大きい実数とする。座標平面上で媒介変数tを用いて x=t^2−1,y=−t^2+at+a+1 (-1≦t≦a+1)と表される曲線Cがある。直線mをy=((a+3)/(2a-3))xとし、Cとmで囲まれる部分の面積をS(a),Cとmとx軸で囲まれる部分の面積をT(a)とする。
注)mは原点を通り傾きが(a+3)/(2a-3)の直線

(1)Cとmの交点を全て求めよ。
(2)S(a)とT(a)をそれぞれ求めよ。
(3)α=lim(a→∞)(T(a)/S(a))を求めよ。
また、lim(a→∞) (a(T(a)/S(a) −α))を求めよ。

です。自分の回答は
(3)がα=19/8 、もう片方=81/16 となりました。(自信なしです)
(1),(2)を含めてよろしくお願いします。

長々と失礼しました。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/04 14:18

(1)

Cとmの交点
　y=-t²+at+a+1={(a+3)/(2a-3)}x={(a+3)/(2a-3)}(t²-1)
　→ 3t²-(2a-3)t+2a²=0
　→ t={2a-3±(2a+3)}/6=-1 or 2a/3
したがって、交点は２つあり

　t=-1 → x=y=0
　t=2a/3 → x=(2a/3)²-1 , y=(a+3)(2a+3)/9

また、Cとx軸の交点は
　y=-t²+at+a+1=0
→ t=[a±√{a²+4(a+1)}]/2=[a±(a+2)]/2=a+1 or -1
t=-1 は原点なので、Cの右側でx軸との交点は
　t=a+1・・・・・①
となる。

(2)
Cの t:[-1,2a/3] の面積S₁は dx/dt=2t なので
　S₁=∫[0,(2a/3)²-1] ydx=∫[-1,2a/3] y(t)(dx/dt) dt・・・②
　　=∫[-1,2a/3] (-t²+at+a+1)2tdt
　　=[-2t⁴/4+2at³/3+(a+1)t²][2a/3,-1]
　　=-(1/2)(2a/3)⁴+(2a/3)⁴+(a+1)(2a/3)²+1/4+2a/3-(a+1)
極限で必要なのは a³の項までなので、そこまで取ったものを「～」
で表すと（正解は面倒なので略）
　　～(1/2)(2a/3)⁴+a(2a/3)²=(8/81)a⁴+(4/9)a³

mの[0,2a/3]の面積T₁は３角形だから
　T₁={(a+3)(2a+3)/9}{(2a/3)²-1}/2
　　～(a²/9+a/2)(2a/3)²=(4/81)a⁴+(2/9)a³

①から、Cの t:[2a/3,a+1] の面積T₂は②と同様に
　T₂=∫[2a/3,a+1] (-t²+at+a+1)2tdt
　　=[-2t⁴/4+2at³/3+(a+1)t²][a+1,2a/3]
　　=[-(a+1)⁴/2+(2a/3)(a+1)³+(a+1)³
　　　　　+(2a/3)⁴/2-(2a/3)⁴-(a+1)(2a/3)²]
　　～-a⁴/2-2a³+(2a/3)(a³+3a²)+a³-(2a/3)⁴/2-a(2a/3)²
　　　=(1/6-8/81)a⁴+(3-4/9)a³

すると
　S(a)=S₁-T₁～(4/81)a⁴+(2/9)a³
　T(a)=T₁+T₂～(1/6-4/81)a⁴+(3-2/9)a³

(3)
a⁴の項のみ必要なので
　T(a)/S(a) → (1/6-4/81)/(4/81)=81/(6・4)-1=57/24=19/8

(4)
次の分子のa⁵は０となるので a⁴、元のa³の項のみ関係し
　a(T(a)/S(a) −α=(aT(a)-αS(a))/S(a)
　　 → {(3-2/9)-α(2/9)}/(4/81)
　　　　={(3-2/9)-(19/8)(2/9)}/(4/81)
　　　　={3-(27/8)(2/9)}/(4/81)=729/16

この回答へのお礼

とても丁寧にありがとうございます！
ベストアンサーです

お礼日時：2021/09/04 14:20