複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。
これを次のように考えてみたのですが、
あっていますか?
β>|α|とする。十分大きいnについて
|e^a[n]-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|+|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|+|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|
=e^β-(1+β/n)^n
したがって
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n
=lim[n→∞]e^a[n]
=e^α
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
なるほど
(1+a[n]/n)^nの二項展開のa[n]^k/k!の係数が
Σ[k=0,n]a[n]^k/k!のa[n]^k/k!の係数1以下というのが
|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|のおもな根拠になってるんですね。
ぼくがいまごろ言うのもおこがましいがNo.4さんの回答とあわせて
あっています。
そういうことですね。
この問題がこんなに難しいはずがないと思って考えていたら、そのことに気付きました。
はじめは最大値原理が必要かと思いましたが、よく考えれば係数を吟味すればいいだけだと分かりました。
No.5
- 回答日時:
なるほど、では
>まあ、それくらい頭の中で余裕でしょう。
>わざわざ書くほどのことではない。
「頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない」論法が許されるということなので、
複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。
(証明)頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない。■
というのはいかがですか?
私は
|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
などがほとんど明らかだと言っているだけで、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
が明らかだなんて一言も言ってませんよ?
曲解が酷すぎて、本当にあなたの頭が心配です。
ご病気ではなくただの嫌がらせならいいのですが…。
早めに病院を受診されてみて下さいね。
No.4
- 回答日時:
|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|
=|Σ[k=n+1,∞]a[n]^k/k!|
≦Σ[k=n+1,∞]|a[n]|^k/k!
≦Σ[k=n+1,∞]β^k/k!
=|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
という
証明が必要なのです
こういう証明が無いのであっているとはいえません
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 関数列の収束について 次の問題を教えて欲しいです。 区間[0,1) の関数列fnと関数f(x)につい 1 2022/06/01 08:33
- 数学 無限等比数列 r^n の収束・発散の ε-N による証明 2 2023/02/07 13:35
- 数学 微分可能 連続 わからない 3 2022/06/22 17:22
- 数学 ガチ急ぎです!【大学数学】【解析】 有界な数列{a_n}について、k>0として ①lim sup k 1 2022/11/25 07:45
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 解析学 質問です。 lim a_n=α(n→∞)のとき有界な数列{b_n}について lim (a_n 2 2022/11/25 07:47
- 数学 1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。 xy平面上 2 2023/06/10 11:47
- 数学 高校数学 極限 lim[n→∞]|1+i/n|^n を求める問題(iは虚数単位、nは自然数)で、 i 2 2023/02/13 12:22
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報