複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が n→∞でαに収束するとき、 lim[n→∞](1+

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

これを次のように考えてみたのですが、
あっていますか？

β>|α|とする。十分大きいnについて
|e^a[n]-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|+|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|+|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|
=e^β-(1+β/n)^n
したがって
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n
=lim[n→∞]e^a[n]
=e^α

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/14 21:44

それが想定解答なのか。

それで、投稿を繰り返して
それとは違う回答に
ケチをつけ続けていたんだな。
偏狭な奴。

この回答へのお礼

違います。
当初トンデモ回答しか付かなかったので、なんとか自分で考えようと努力した結果、この証明に至りました。

どうです？
ご自分が恥ずかしくなりませんか？

お礼日時：2021/09/14 21:54

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/15 03:39

|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|

の
証明が無いのであっているとはいえません

|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|≦|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|
の
証明が無いのであっているとはいえません
証明とは文字通り明らかにする事なのです

この回答へのお礼

どちらもほとんど明らかでしょう。

お礼日時：2021/09/15 07:24

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/09/15 07:34

＞どちらもほとんど明らかでしょう。

ほとんど明らかという論法が許されるなら、

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

（証明）ほとんど明らか。■

この回答へのお礼

それは論外でしょうね。
頭大丈夫ですか？

お礼日時：2021/09/15 07:37

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/15 09:48

|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|

=|Σ[k=n+1,∞]a[n]^k/k!|
≦Σ[k=n+1,∞]|a[n]|^k/k!
≦Σ[k=n+1,∞]β^k/k!
=|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
という
証明が必要なのです
こういう証明が無いのであっているとはいえません

この回答へのお礼

まあ、それくらい頭の中で余裕でしょう。
わざわざ書くほどのことではない。

お礼日時：2021/09/15 09:54

No.5 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/09/15 17:22

なるほど、では

＞まあ、それくらい頭の中で余裕でしょう。
＞わざわざ書くほどのことではない。

「頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない」論法が許されるということなので、

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることを証明せよ。

（証明）頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない。■

というのはいかがですか？

この回答へのお礼

私は
|e^a[n]-Σ[k=0,n]a[n]^k/k!|≦|e^β-Σ[k=0,n]β^k/k!|
などがほとんど明らかだと言っているだけで、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
が明らかだなんて一言も言ってませんよ？

曲解が酷すぎて、本当にあなたの頭が心配です。
ご病気ではなくただの嫌がらせならいいのですが…。
早めに病院を受診されてみて下さいね。

お礼日時：2021/09/15 17:56

No.6 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/09/15 18:29

私は

lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
がほとんど明らかだと言っているのです。

だから、
（証明）ほとんど明らか。■
それが許されないなら
（証明）頭の中で余裕なので、わざわざ書くほどのことではない。■
となります。

この回答へのお礼

大変な治療になりそうですね。
療養、頑張って下さいね。
ご病気がよくなるよう応援しています。

お礼日時：2021/09/15 18:36

No.7 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/09/16 18:27

なるほど

(1+a[n]/n)^nの二項展開のa[n]^k/k!の係数が
Σ[k=0,n]a[n]^k/k!のa[n]^k/k!の係数1以下というのが
|Σ[k=0,n]a[n]^k/k!-(1+a[n]/n)^n|
≦|Σ[k=0,n]β^k/k!-(1+β/n)^n|のおもな根拠になってるんですね。

ぼくがいまごろ言うのもおこがましいがNo.4さんの回答とあわせて
あっています。

この回答へのお礼

そういうことですね。
この問題がこんなに難しいはずがないと思って考えていたら、そのことに気付きました。
はじめは最大値原理が必要かと思いましたが、よく考えれば係数を吟味すればいいだけだと分かりました。

お礼日時：2021/09/16 19:24