LC回路

コイル誘導起電力の電位差とコンデンサーによる電位差は同じ大きさで逆向きであるのに何故電流が流れるのか教えてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/11 13:23

確かに、「di/dtは時間的に変化している」のですが、それは何によって変化しているのかといえばVの作用によって変化しているのです。

即ち、Vの変化が先です。よって、Vの変化量がiの変化速度となります。

　分かりやすく言えば、下記の順序になります。
(２a,２bは同時です。)

１：コイルに起電力がかかります。
２a：起電力と磁束密度に応じた電流が流れます。
２b：起電力が加わると、電界も発生します。
　　→（右ネジの法則：フレミングの左手の法則）
４：電界が発生すると、打ち消す方向の電界が発生します。
　　→（レンツの法則）
５：電界が発生すると、それに応じた電力（逆起電力）が発生します。
　　→（右ネジの法則：フレミングの右手の法則）
６：逆起電力が発生すると、その向きに電流が流れます。

　このように、起電力と逆起電力は、電流を介して相互に発生するのではなく、磁界を仲介としてレンツの法則によって相互に発生します。起電力,逆起電力が常に先であり、それに応じた電流が流れます。

　コイルは、砂(電子)が入った円筒を傾ける力と考えると良いです。円筒が水平なのに、中の砂が最初に左右に流れるなどということは起こりません。初めに円筒を傾けるからこそ、砂が流れるのです。

No.28 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/16 21:14

ここで、

>コイル誘導起電力の電位差とコンデンサーによる電位差は同じ大きさで逆向きであるのに何故電流が流れるのか教えてください。

とあるのは、
Q/C+L(dI/dt)=0
の意味を聞いているのですよね。
よって、ふと思ったのですが、この質問者さんの質問は、
キルヒホッフの法則について解説すれば解決するのかも、と思いました。

■[キルヒホッフの法則]
　閉回路につながっている電源などの起電力をＶとおくと、
ΣＶ＝０　---(式a)
ということです。ここで、抵抗などは起電力を消費するので、
電圧降下の作用があります。よって、(式a)は、
Σ（起電力）－Σ（電圧降下）＝０　---(式b)
となります（※ここで、何故符号がマイナスになっているかと言えば、
電圧降下にマイナスをかけ合せれば、起電力を意味するからです。
ベクトルの方向を考えれば即解です。）。

これは、
Σ（放電）－Σ（充電）＝０　---(式c)
と考えても良いかも知れません。
（※ただし、実際の素子では充電するのはコンデンサのみですが。。。
無論、トランジスタという素子のコンデンサ特性などもそうですが、キリが無いので。）

　ここで、(式b)は、
Σ（起電力）＝Σ（電圧降下）　---(式d)
という形にも変形できます。これは、起電力の総和が、
電圧降下の総和に等しいことを意味しています。

■[実例]
閉回路に電源と抵抗のみが接続された回路では、
(式d)の形では、V=RI　
(式b)の形では、V-RI=0
と表せます。

■[LC共振回路]
閉回路にコイルとコンデンサのみが接続された回路では、
(式d)の形では、Q/C=-L(dI/dt)　(∵ L(dI/dt)×e^(πj) = -L(dI/dt) より。 )
(式b)の形では、Q/C+L(dI/dt)=0
⇔Q/C-{-L(dI/dt)}=0
⇔Q/C-{L(dI/dt)×e^(πj)}=0
と表せます。

　この式は、
Σ（起電力）－Σ（電圧降下）＝０　((式b)より。)
⇔Σ（放電）－Σ（充電）＝０　((式c)より。)
のように、任意の時点でコンデンサで放電されたのと同量の電子が、
全てコイルに充電されることを表しています。

　ここで、任意の時刻において、コイルとコンデンサの位相が常にπズレている
（電圧の向きが正反対である）ということは、これまでに示したとおりです。
これは、放電と充電は全て正反対であるので、
コイルが放電するときは、コンデンサが充電します。

　充放電がちょうど入れ替わっていることを視覚的に確認するためには、
位相が常にπズレている正弦波（sin波）を、描いてみると良いです。
一方がコンデンサの電圧（電荷量）で、もう一方がコイルの電圧（電荷量）です。

　これで、お分かりいただけたでしょうか？

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。昨日図書館で調べた本には、LC回路に抵抗Rを入れ方程式Q/C-Ldi/dt=RIを解いて、IをRとｔの関数で現しRを限りなく０に近づけてLC回路の電流を求めていました。私流に解釈すると、つまり、厳密にはLC回路は存在しない。方程式Q/C-Ldi/dt=０は、近似方程式ではないでしょうか。起電力(合力）Q/C-Ldi/dtの結果、上式の電流が流れる事に違和感はありません。抵抗０の回路には電流が流れないと考れば私の疑問もかなり解決しますが、また、T＝（コンデンサーからコイルの終端までの距離）/光速、T‘＝（コンデンサーから抵抗の終端までの距離/光速とした時、上式は、時間差を考えてQ(t)/dt-Ldi(t-T)=RI(t-T`)と考えるのが正確ではないでしょうか。ご教示をお願いします。

補足日時：2005/03/17 19:58

この回答へのお礼

何度もご指導ありがとうございました。まだよく理解していませんので勉強します。また、質問を投稿させてもらいますので懲りずにご指導をお願いします。

お礼日時：2005/03/19 14:28

No.27 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/15 23:41

>同時刻にQ(t)/C,と-Ldi/dtが電荷に働くとつり合うから力学的常識からいえば電荷は等速度運動をすることになると思います。

>ですから、実際には、時間的ズレがあっても近似的に1/C∫idt＋Ldi/dt=0この式を使える。このようなことであればわかるきがします。

　それは位相（ある時点での電位や電圧）をある時点に固定している式であるから釣り合っているのであって、この式に位相を加味させるとコイルとコンデンサの電流と電圧は、ズレているのです。位相は高校物理でも三角関数を含めた式によって習っていると思います（例えば、「コイルは電圧が電流より位相π/2進んでいる」という話。）。

　常に等速であるならば、何故ある時点で電圧や電流が０になり、その直後に０以外の正または負の値を示すと思いますか？それは、速度が変化しているから、即ち、加速度が変化しているからなのです。

　そもそも電流の変化量が一定ならば、di/dt=0です。電荷は加速したり、止まったり(交流の値が負のときや逆起電力が発生したときに)逆流するからこそ、交流なのです。

　1/C∫idt＋Ldi/dt=0
には時間的な情報が無いので、
i=Asinθ
の形の値を当てはめて考えてみてください。

　結果的に、質問者さんが示したLC共振回路において、電圧と電流を各々合成すれば、電圧と電流の位相がズレていることは、今までに示したとおりです。

No.26 回答者： ruto 回答日時： 2005/03/15 21:13

この問題を解くには

1/C∫idt＋Ldi/dt=0
を説く必要があります。ただしt=0　V0=Q/Cとして。
この式は質問者が電圧がお互い等しく、逆方向なのに電流が流れるのが解らないようですが、式を見ても解るように、電流が流れた結果、電圧が等しく、逆方向なのは電流が流れる結果です。
　例えば、コイルLに交流電圧Eを加えると、当然電流は流れますが、電圧Eのピークでは電流が０ですが、電圧Eが０Vのとき電流が±最大になります。
　瞬間だけ考えると、電圧Eが０で電流が±最大になります。
　電流と電圧の位相のズレを考える必要があります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。理解されている方には、私の疑問がトンチンカンに思えるかもしれませんが、同時刻にQ(t)/C,と-Ldi/dtが電荷に働くとつり合うから力学的常識からいえば電荷は等速度運動をすることになると思います。ですから、実際には、時間的ズレがあっても近似的に1/C∫idt＋Ldi/dt=0この式を使える。このようなことであればわかるきがします。納得いくまで考えてみます。

お礼日時：2005/03/15 22:22

No.25 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/15 21:03

>私は新物理入門（山本義隆著）を中心に物理の勉強をしています。

　私は、その旧版(1993年版)を持っています。

>どうしても力学的考えから抜けきらなく、同時刻に大きさが同じで、向きが逆の電圧が働けば合力＝0で電荷は静止か等速運動するはずであるという考えしかできません。

　この旧版の書籍には、LC回路の式は、
-L(dI/dt)=Q/C , I=dQ/dt
とあります。そして、これは、
m(dv/dt)=-kx , v=dx/dt
と等価であると書いています。

　第一式は、まさにキルヒホッフの法則で、起電力と電圧降下の和が0になることからの等式です。また、私が以前に書いた式は、各素子における電圧の推移です。

　どちらにしても、単振動のモデルとしては同一になります。（∵上記のキルヒホッフを基にした等式は、コイルの逆起電力とコンデンサの電圧が等しいと考えた等式と等価であるからです。）

　よって、電圧が0であるときには、電流の実行値が最大であることを意味しています。電荷で言うと、加速度が最大であるということです。


>コンデンサーの電圧とコイルの逆起電力にわずかでも時間差があれば納得できるかもしれません。新物理入門（山本義隆著）p232に電圧降下（抵抗、コンデンサー、コイル）は、変化が瞬間的に伝わるものと考えてよいという記述してあります。つまり、厳密にいうと時間差があるということでしょうか。

　確かに時間差はありますが、位相が大きくズレるほどのものではありません。よって、質問者さんが、どの程度の厳密さで電気現象を解析しようとしているのかは、現時点では分かりかねますが、ここまでの私の考えを理解するレベルであれば、時間的にズレは無いと考えて良いと思います。（もちろん、CPUの設計のときなどは、クロックの問題もあるためズレも考慮しますが、今までの理論レベルでは、理解する上で考慮する必要は無いと思います。）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。理解されている方には、私の疑問がトンチンカンに思えるかもしれませんが、同時刻にQ(t)/C,と-Ldi/dtが電荷に働くとつり合うから力学的常識からいえば電荷は等速度運動をすることになると思います。ですから、実際には、時間的ズレがあっても近似的に1/C∫idt＋Ldi/dt=0この式を使える。このようなことであればわかるきがします。納得いくまで考えてみます。（同じ内容ですいません。）

お礼日時：2005/03/15 22:24

No.24 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/14 22:44

　では、私も題意に戻って書き直してみます。

>コイル誘導起電力の電位差とコンデンサーによる電位差は同じ大きさで逆向きであるのに何故電流が流れるのか教えてください。

■１■各素子（コイル,コンデンサ）に発生する電位：
　１：コイルの電位(起電力)　：Vl=-Ldi/dt
　２：コイルの電位(逆起電力)：Vx=-Vl=Ldi/dt
　３：コンデンサの電位　　　：Vc=Q/C=(∫idt)/C

■２■コイルとコンデンサの電圧値と、その位相差：
※「位相」とは、「ズレ」のこと：

コイルとコンデンサの式は、No.5から、
>V= ωL×I×e^(πj/2)
>V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2)
より、
Vl= ωL×i×e^(πj/2) ---(式a1)
Vc=(1/(ωC))×i×e^(-πj/2) ---(式a2)

ここで、LC共振回路では、ωL=1/(ωC)。
これをZとおくと、(式a1),(式a2)は、
Vl=Z×i×e^(πj/2) ---(式b1)
Vc=Z×i×e^(-πj/2) ---(式b2)
この２式をまとめると、
Vl/Vc=e^(πj/2)/e^(-πj/2)
⇔Vl=Vc×e^(πj)
よって、VlとVcは振幅が等しく、位相がπズレている。
また、振幅はQ=CVの公式より、Q/C　。

■３■作図：
〔是非とも以下の正弦波を作図して見るのがお勧め〕

　交流電圧Vl,Vcの振幅をQ/C=V(定数)、
交流電流iの振幅をdQ/dt=I(定数)です。

　また、LC共振回路では、
V=Z×I=ωL×I=(1/(ωL))×Iです。

　以下で、作図向けの式を書きます。
（t(時間)のみが変数であり、0+nπ≦ωt≦2π+nπ 。
（また、ω=1/√(lc) ,nは整数。）の円回転をしている。）

　１：コイル(起電力)　：
　　・電圧：Vl=Vsinωt
　　・電流：i=Isin(ωt-π/2)

　２：コイル(逆起電力)：
　　・電圧：Vx=-Vl=Vsin(ωt-π)
　　・電流：i=Isin(ωt-3π/2)=Isin(ωt+π/2)

　３：コンデンサ（左）：
　　・電圧：Vc=Vsin(ωt-π)
　　・電流：i=Isin(ωt-π)

（４：コンデンサ（右）：
　　・電圧：Vc=Vsinωt
　　・電流：i=Isinωt

※実際は、閉回路であるため、
「３：コンデンサ（左）」と「４：コンデンサ（右）」は、コンデンサの各端です。）

　この図を描くと、各素子における電位と電流が、
一周期の間にどのように変位するのかが分かると思います。

　これを描いてみると、電圧は正弦波を描いているので、一周期の間に電圧の実行値が0になるときが2回あるのですが、電流が0になるときはズレているので、電流は流れます。

　即ち、電位(電子を押す力)が0のときは、それ以前の電圧の実行値が0でないときに押されているために、電流が既に、手から投げ放たれた後のボーリング球のように、転がっています。よって、転がっている時点では、更に手で後押しする必要も無く、垂直抗力によって減速・停止するまで、転がり（流れ）続けますよね。

■追伸：
　図を描いて理解することは、自然現象に限らず、
物事を理解する上で重要です。

この回答への補足

いつもご指導ありがとうございます。刺激になります。私は新物理入門（山本義隆著）を中心に物理の勉強をしています。式の前提になる理論がよく理論できていません。疑問は、氷解していません。どうしても力学的考えから抜けきらなく、同時刻に大きさが同じで、向きが逆の電圧が働けば合力＝0で電荷は静止か等速運動するはずであるという考えしかできません。コンデンサーの電圧とコイルの逆起電力にわずかでも時間差があれば納得できるかもしれません。新物理入門（山本義隆著）p232に電圧降下（抵抗、コンデンサー、コイル）は、変化が瞬間的に伝わるものと考えてよいという記述してあります。つまり、厳密にいうと時間差があるということでしょうか。

補足日時：2005/03/15 18:41

No.23 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 22:24

>電場の概念で説明してもらえるとありがたいです。

コンデンサーの作る電場とコイルの作る電場の相互関係を。式だと考え方が理解できません。

コイルとコンデンサ(左もしくは右)の距離をr
コンデンサと電荷の距離をrlとおくと、
コイルと電荷の距離をrcとおくと、
rl+rc=r

コンデンサ(左もしくは右)の電場で言えば、
電場をEcとおくと、
Ec=(1/(4πε))×(Q/rc^2)
です。ここで、
Q=∫Idt=∫A×e^(jωt)dt
=(A/jω)×e^(jωt)
=(A/jω)×e^(jθ) (θ=ωtとおく。)
ですから、
Ec=(1/(4πε))×( ((A/jω)×e^(jθ)) /rc^2)
=(A/(4jωπε))×(e^(jθ)/rc^2)

ここで、θは0≦θ≦2π。
rは例により、円筒形の砂のモデルの左端(コンデンサ)からの任意の距離。

コイルの位置は、位相はπズレている。
(∵Vc=-Vl=Vl×e^(πj)より。)

∴コイルからの電場Elは、
El=Ec×e^(πj)
=(A/(4jωπε))×(e^(j(θ+π))/rl^2)

合成した電場Esumは、
Esum=Ec+El
=(A/(4jωπε))×(e^(jθ)/rc^2)+(A/(4jωπε))×(e^(j(θ+π))/rl^2)
=(A/(4jωπε))×(e^(jθ)/rc^2)+(A/(4jωπε))×(-e^(jθ)/rl^2)
=(Ae^(jθ)/(4jωπε))×((1/rc^2)-(1/rl^2))

ここで、rl+rc=r　。
rlは電荷とコイルとの距離。
rcは電荷と近い方のコンデンサとの距離。

よって、この距離での電荷は、θは0≦θ≦2πの円運動によって、変化する。

（参考：e^(jθ)=sinθ+j cosθ )

■追伸：

　電場よりも、
No.20の正弦波を作図した方が視覚的に理解しやすいと思いますよ。

この回答へのお礼

ご指導ありがとうございます。私は、まだ、根本的な所がわかっていないようです。始めに戻って考えてみます。いつも、ご回答をくださりありがとうございます。

お礼日時：2005/03/14 20:44

No.22 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 19:54

再度すみません。

先ほどの再訂正です。

No.22において、

>■位相:π/2
>　C(右)からLを通ってC(左)へ電流が流れる。

は、

■位相:3π/2
　C(右)からLを通ってC(左)へ電流が流れる。

に訂正してください。(π/2を3π/2に訂正)

この回答への補足

電場の概念で説明してもらえるとありがたいです。コンデンサーの作る電場とコイルの作る電場の相互関係を。式だと考え方が理解できません。

補足日時：2005/03/13 20:08

No.21 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 19:43

　以下に、３つの項目

(「■合成電圧について」、「■等価回路の作成による理解」、「■訂正」）、
について解説させて頂きます。

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■合成電圧について：
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
　このLC共振回路の電圧を合成すれば、
0にはなりません。何故ならば、

周期π後の各素子の合成電圧は、
(この閉回路の合成電圧)
= (コイルの起電力)+(コイルの逆起電力)+(コンデンサの帯電圧)
= (Vl)+(Vx)+(Vc)
= (Vl)+(-Vl)+(-Vl)
= (-Vl)

ここで、-Vl=Vl×e^(πj)より、大きさは、Vlのままです。

　同様にして、任意の周期θ後の各素子の合成電圧Vは、
V=Vl×e^(jθ)
となります。

　ゆえに、合成電圧が0になるという質問者さんの考えは、何か勘違いしていると思います。
おそらく、逆起電力について考慮していなかったのではないでしょうか？

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■等価回路の作成による理解：
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
　等価回路を作成して電流が流れることを確認します。

　まず、コンデンサに電位がある場合は、直流電源と等価です。
コイルに電位がある場合は、交流電源と等価です。

次に、No.5において、
>■まとめ：
>V= ωL×I×e^(πj/2)
>V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2)

より、
>・直流の場合は、ω=0より、
>V= ωL×I×e^( πj/2) =0 ∴短絡状態
>V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2) =∞ ∴開放状態

・交流の場合は、ω=∞のとき、
V= ωL×I×e^( πj/2) =∞ ∴開放状態
V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2) =0 ∴短絡状態

です。ここで、前述したように開放については、
電位がある場合は電源と等価ですが、
短絡については、直流においてはコイルは短絡と等価、
交流においてはコンデンサは短絡と等価となります。

　更に、この回路に流れる電流は、
Q=∫I dt ⇔ I=dQ/dt
です。そして、この電流Iに合うように、
V=RIより、V,Rを適切に(任意に)定義すれば、
前述の電源電圧の電位はVとなります。
更に、Rについては、この閉回路に直列接続されていることと等価です。

∴電源を直流電源としても交流電源としても、このLC共振回路は、
電圧Vの電源と抵抗値Rの抵抗のみが接続された閉回路と等価になります。

　よって、明らかに電流は流れ、その値IはdQ/dtで求まります。

ちなみに、これは、No.18さんの話していた、
抵抗のみが接続された閉回路と全く同じですよね。

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
以下は、これまでに述べた解説の訂正文です。
※すみませでした。m(__)m
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■
■訂正１：
■■■■■
No.9において、
>インピーダンスの式Z=√(R^2+(ωL-(1/(ωC)))^2)より、
>Z=√(R^2+(ωL+(1/(ωC)))^2)
>=R
>となります。

の
>Z=√(R^2+(ωL+(1/(ωC)))^2)
は、
Z=√(R^2+(ωL-(1/(ωC)))^2)
に訂正してください。(+を-に訂正。)

■■■■■
■訂正２：
■■■■■
No.20でも分かるように、
No.17において、

>■位相:π/2
>　LからC(右)へ電流が流れる。

は、

■位相:π/2
　C(左)からLを通ってC(右)へ電流が流れる。

>■位相:3π/2
>　LからC(左)へ電流が流れる。

は、

■位相:π/2
　C(右)からLを通ってC(左)へ電流が流れる。

に訂正してください。

No.20 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 14:04

　これは、バネの単振動と同じと考えても、分かりやすいかもしれません。

　即ち、バネにオモリを付けたモデルを考えます。
ここで、電圧がコイルかコンデンサにかかったとき(0,π,2πのとき)を、
バネが上下の最大振幅の位置にきたときとします。

（例：
バネが下に伸びきったときをコイル(左)に電荷がたまりきったとき。
バネが上に縮みきったときをコイル(右)に電荷がたまりきったとき。
）

　バネが中心の位置にきたときを、電流の値（上向き、もしくは、下向きのオモリの速度）が最大のとき。

　このモデルと全く同一ですよね。
どうでしょうか？
わかりましたか？