LC回路

コイル誘導起電力の電位差とコンデンサーによる電位差は同じ大きさで逆向きであるのに何故電流が流れるのか教えてください。

No.19 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 13:49

>何度もすいません。

LC回路上の電荷に働く力+-＝0で、わからなくなりますが、抵抗と電池の例の場合には、電荷に働く合力が0でないので電流が流れることは理解できます。最初から考えてみます。

　では、コンデンサからコイルに電流が流れる場合と、
コイルからコンデンサに電流が流れる場合とに分けて
正弦波を描いてみてはいかがですか？

[1]電流がC(左)→Lの間に流れる場合：
1.Cについて、振幅Vcの正弦波をつくる。
(この振幅は、Vl=Vc)
2.同位相で、Lについて、振幅Vlの正弦波をつくる。
3.位相π/2遅れてIc(=Il)の電流が発生する。
(この正弦波は、IlとIcはIl=Icで、位相も同じ。)

[2]電流がL→C(右)の間に流れる場合：
1.Lについて、振幅Vlの正弦波をつくる。
2.位相π/2遅れてLの電流Il(=Ic)が発生する。
(この正弦波は、IlとIcはIl=Icで、位相も同じ。)
3.位相π/2遅れてCについて、振幅Vcの正弦波をつくる。
(この振幅は、Vl=Vc)

[作図]
以上より、"[1]","[2]"を合成すると、Vl,Il,Vc,Icが、
"[1]"と"[2]"のそれぞれについて位相が等しいので、
ひとつながりの正弦波となる。

　よって、理解を深めるために、以下のことを参考にして作図してください。
(ここで、 大きさが等しい変数をまとめるために、I=Il=Ic , V=Vl=Vc とおきます。)

[1]電流がC(左)→L→C(右)のとき
(周期で言うと、0～πのとき）に流れる時について、

1.Lについて、振幅Vの正弦波をつくる。
2.位相π/2遅れて、振幅Iの正弦波をつくる。
3.更に位相π/2遅れて、Cについて、振幅Vの正弦波をつくる。

[2]電流がC(右)→L→C(左)のとき
(周期で言うと、π～2πのとき）に流れる時について、

1.Lについて、振幅Vの正弦波をつくる。
2.位相π/2遅れて、振幅Iの正弦波をつくる。
3.更に位相π/2遅れて、Cについて、振幅Vの正弦波をつくる。

[まとめ]
どうですか？

0～2πについて合成してしまえば、確かに電流は0になりますが、
0～πとπ～2πについて、個別に合成すれば、個々に電流は流れていますよね。

　これは、何かどこかで見たことは無いですか？
つまり、以下の２つのモデルですよね。

■「砂の入った円筒」モデル：
砂の入った円筒を傾けたときを考えます。

0～π：
左端に砂が寄っていた時点から考えると、
そこから右に傾けると右端に砂が寄ります。
π～2π：
右端に砂が寄っていた時点から考えると、
そこから左に傾けると左端に砂が寄ります。

0～2π：
以上2つを合成すると、
全く砂は流れていないのと同じ状態です。
でも周期2π/ωで円筒を振っていますよね。
そして、砂は、それに応じて流れていますよね。

■「等価回路」モデル：
交流電源に抵抗をつないだ閉回路を考えます。

0～π：
時計回りに電流が流れるとします。
π～2π：
0～πのときとは逆方向、即ち、
反時計回りに電流が流れます。

0～2π：
以上2つを合成すると、
電流は全く流れていないのと同じ状態です。
でも周期2π/ωで交流電源電圧は閉回路にかかっていますよね。
そして、電流は、それに応じて流れていますよね。

ということは、
LC共振回路は、交流電源と同様の機能を持っているということですね。
つまり、この閉回路には電流は流れます。

（証明終了）

ご質問があれば、ご連絡ください。

■追伸：
　ここで、面白いことには、
　この等価回路の交流電源のωとLC共振回路のωとは、等価と考えても良いですよね。

　即ち、LC共振回路は、交流電源電圧がかかった閉回路と考えられるのです。
電流は、コンデンサの電荷Qによって定まるので、∞にはなりません。
よって、等価回路では、RLC直列共振回路を考えて、
RとVは、Q(つまり、 I=dQ/dt。)によって決まります。

　この等価回路を描いて考えてみても、電流が流れるのは、明らかです。

(今回は、理想的な回路を考えているので、
抵抗Rなどでのエネルギー損失は無いとすると、
電源電圧は低下することなく、この状態は永遠に続く。)

No.18 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/13 11:05

>参考書ではコイルを電圧-Ldi/dt＝Vの電池に置き換えた説明図がありますが、それで考えると同電圧の電池２個を+極同士をリード線で結んだ図しか想像できません。

　おそらく、コンデンサからコイルに電流が流れるという時点が分からないのですよね。

　そうであれば、参考書に書いているように、コイルを電池に置き換えるのではなく、コンデンサを電池と置き換えてみてください。

　電荷が蓄積されたコンデンサを、電池として使用するために回路に作り込むことは、実際の回路でもあることです。仮想電源ですね。

　今回の回路でも、コンデンサに電荷が蓄電されているということなので、単にＶ（＝Ｑ／Ｃ）という電池をコイルにつないでいると考えればいいです。

　流れますよね。

　ついでですので、逆の場合も考えます。
即ち、コイルを電池と仮想して、閉回路に電源とコンデンサしかない回路を考えます。やはり流れます。

以上のように、仮想電源を入れ替えていると考えるといいのでは？

仮想電源と置かなかった方を、仮想的な抵抗とおくと、No.18さんの解説そのままですよね。

この回答への補足

何度もすいません。LC回路上の電荷に働く力+-＝0で、わからなくなりますが、抵抗と電池の例の場合には、電荷に働く合力が0でないので電流が流れることは理解できます。最初から考えてみます。

補足日時：2005/03/13 11:26

No.17 回答者： ruto 回答日時： 2005/03/13 08:45

>大きさが同じで向きが逆なので、電流を流そうとする力と拒む力が等しいから私の頭の中では電流がストップしてしまいます。

例えば1.5Vの電池に15Ωの抵抗を繋ぐと150mA流れます。
電池は1.5V、抵抗の電位差も1.5Vで向きが反対で電流が流れないと云っているのと変わりません。
　あとは自分で考えてください。

No.16 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/12 23:13

No.14とNo.15の内容を図解します。

ここで、No.6の砂の入った円筒を思い出してください。
すると、コンデンサのところで開いて(OPEN)、円柱状の筒ができますよね。
このイメージを基に、下の図を見てください。

以下で、VcとVlは等しいので、Vc=Vl=Vとおきます。
また、スイッチをONした直後を、位相0とします。

■位相:0
　C（左）　　　　　　L　　　　　　　C（右）
　■□□□□□■□□□□□■
　+V　　　　　　　　0　　　　　　　0

　C（左）　　　　　　L　　　　　　　C（右）
　■□□□□□■□□□□□■
　0　　　　　　　　+V　　　　　　　0

■位相:π/2
　LからC(右)へ電流が流れる。

■位相:π
　C（左）　　　　　　L　　　　　　　C（右）
　■□□□□□■□□□□□■
　0　　　　　　　　0=V+(-V)　　　　-V

　C（左）　　　　　　L　　　　　　　C（右）
　■□□□□□■□□□□□■
　0　　　　　　　　-V　　　　　　　0

■位相:3π/2
　LからC(左)へ電流が流れる。

■位相:2π
　C（左）　　　　　　L　　　　　　　C（右）
　■□□□□□■□□□□□■
　+V　　　　　　　　0=(-V)+V　　　0

　以上からも分かるように、
位相が0のときと2πのときとで、起電力が一緒です。

この回答への補足

ご指導本当にありがとうございます。一時わかったつもりになりましたが、やはり疑問が振り出しに戻ってしまいました。電源電圧（コンデンサー）V=Q/Cとコイルの電圧-Ldi/dtが同時刻に大きさが同じで向きが逆なので、電流を流そうとする力と拒む力が等しいから私の頭の中では電流がストップしてしまいます。砂の入った円筒が平行になった図しか想像できません。参考書ではコイルを電圧-Ldi/dt＝Vの電池に置き換えた説明図がありますが、それで考えると同電圧の電池２個を+極同士をリード線で結んだ図しか想像できません。理解力がなくてすいません。

補足日時：2005/03/13 07:29

No.15 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/12 22:09

>コイル誘導起電力の電位差とコンデンサーによる電位差は同じ大きさで逆向きであるのに何故電流が流れるのか教えてください。

「何故に電流が流れるのか」については、No.14の
>２：電流・電圧を媒介とする起電力：

において、以下の４つの条件より求まります。

1:コイルの起電力Vlによって発生した電流Ilの位相が、π/2遅れている。
2:電流Ilの位相とコイルへの電流Icの位相とは等しい。
3:コイルへの電流Icによって発生した起電力Vcの位相が、π/2遅れている。
4:コンデンサの起電力Vcとコイルの起電力Vlの位相は等しい。

　よって、この1～4が行われて初めて、電圧の位相がπずれるのですが、
ここで、電流という視点から見ると、この1～4が行われているときに、
電流が流れているのは明らかですよね。

　即ち、コイルの電圧(Vl)と電流(Il=Vc)とコンデンサの電圧Vcとが、
順にπ/2ズレていますよね。

　数式で示してほしいのであれば、
ご連絡いただければ書きますが。。。

No.14 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/12 21:45

>充電したコンデンサー(容量C,電荷Q),自己インダクタンスLのコイルとスイッチ（ON,OFF)のみの回路です。

（コンデンサー、コイルの抵抗を０として）

また、No.5より、位相は以下のようになっています。
>■コイル：
>V=ωL×I×e^(πj/2)
>よって、電圧Vの位相は、電流Iよりもπ/2進んでいる。

>■コンデンサ：
>V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2)
>よって、電圧Vの位相は、電流Iよりもπ/2遅れている。

　まず、コンデンサの電圧をVcとおきます。
（Vc=Q/Cですが、Q,Cは以下の解説では使いません。)
このVcが閉回路の仮想的な電源となります。

　ここで、コイルの電圧Vlの位相は、電流Ilよりもπ/2進んでいるため、VcとVlの位相は同じとなる。

■こうなると、「磁界」と「電流・電圧」の２つにより、それぞれ以下のような電圧がかかる。

１：磁界を媒介とする逆起電力：
　コイルにVlの起電力が印加されたときに、コイルに発生する逆起電力Vxを求める。
　Vl+Vx=0 ⇔ Vx=-Vl ---(式a)

２：電流・電圧を媒介とする起電力：
　コイルにVlの起電力が印加されたときに、コンデンサに印加する起電力Vcを求める。
　Vl=e^(πj/2)×ωL×Il
　Il=Ic
　Vc=e^(-πj/2)×(1/(ωC))×Ic

この３式をまとめると、
　Vc=e^(-πj)×1/(ω^2LC)×Vl ---(式b)
⇔Vc=-1/(ω^2LC)×Vl ---(式c)

ここで、共振状態とは、
No.8のα=ωL-(1/(ωC))においてα=0の状態を意味する。
よって、
ωL-(1/(ωC))=0⇔ω^2LC=1
これを、(式c)に代入すると、
(式c)⇔Vc=-Vl ---(式d)

ゆえに、コイルとコンデンサの電圧をそれぞれ合成すると、
コイル電圧の合成Vl_sum：
Vl_sum = Vl+Vx = Vl+(-Vl) = 0

コンデンサ電圧の合成Vc_sum：
Vc_sum = 0+Vc = 0+(-Vl) = -Vl

　また、(式b)より、電圧Vlの位相は、電圧Vcよりもπ進んでいることが分かる。

■以上を分かり易く言うと、
「コイルVlとコンデンサ0の起電力が、共振周期π後には、
コイル-Vlとコンデンサ0の起電力になっている。」ということです。

　今度は、これを更に共振周期π進めてみます。
（これには、以上の式のコンデンサの起電力Vlを-Vl、
コイルの起電力を0として考えると良い。）
すると、
「コイル-Vlとコンデンサ0の起電力が、共振周期π後には、
コイルVlとコンデンサ0の起電力になっている。」ということです。

　ゆえに、共振周期2π(即ち、1周期)後には、
元の、コイルVlとコンデンサ0の起電力になっている。

　即ち、抵抗やコイル、コンデンサによるエネルギーの損失がなければ、
この共振周期2π(即ち、1周期)毎の起電力の移動は永遠に続く。

（証明終了）

以上、まだ疑問や質問などがあれば、ご返答ください。

■追伸：
※以下のことは、追加内容ですので、読まなくても良いです。

「合成した起電力は何故0なのか？」ということは、
以下の式より求まります。

(コイルとコンデンサの合成起電力)
= (コイルの起電力)+(コンデンサの起電力)
= Vl+Vc = Vl+(-Vl) = 0

次に、電流ですが、

>■コイル：
>V=ωL×I×e^(πj/2)
>よって、電圧Vの位相は、電流Iよりもπ/2進んでいる。

>■コンデンサ：
>V=(1/(ωC))×I×e^(-πj/2)
>よって、電圧Vの位相は、電流Iよりもπ/2遅れている。

より、
最初の共振周期π(0～π)と、次の共振周期π(π～2π)では、
電流の位相がπ(即ち、e^(-πj)=-1)ズレています。
よって、合成すると、
e^(0×j)+e^(-πj) = 1+(-1) = 0
より、合成電流は0となります。
（無論、各時点では流れているのですが、合成すると0になるというだけです。）

No.13 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/12 11:44

>私の参考書には、LC共振回路のリード線の抵抗R=0、また、コイルの抵抗も０として解説してあり、Vつまり

>コイルの両端の電位差-Ldi/dt、コンデンサーの両端の電位差Q/Cは（キルヒッホッフ法則により）各瞬間毎等しい。つまりVは変化しています。

　もしかして、この回路に交流電源は無いのですか？
さらに、コイルに電磁誘導で起電力がかかっているのですか？

　質問者さんが見ている回路について、具体的に言葉で書いていただけませんか？

この回答への補足

充電したコンデンサー(容量C,電荷Q),自己インダクタンスLのコイルとスイッチ（ON,OFF)のみの回路です。（コンデンサー、コイルの抵抗を０として）

補足日時：2005/03/12 14:23

この回答へのお礼

コンデンサーの抵抗０でなくリード線の抵抗０です。すいません。電気はよくわかりません。また、ご指導をお願いします。

お礼日時：2005/03/12 20:13

No.12 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/12 10:52

>私の参考書には、LC共振回路のリード線の抵抗R=0、また、コイルの抵抗も０として解説してあり、Vつまり

コイルの両端の電位差-Ldi/dt、コンデンサーの両端の電位差Q/Cは（キルヒッホッフ法則により）各瞬間毎等しい。つまりVは変化しています。

　確かに、コイルとコンデンサが共振状態であれば、電位差は常に等しくなります。

コイルとコンデンサの式は、No.8から、
>直列の場合は、合成インピーダンスをZとおくと、
>Z
>=(コイルのインピーダンス)+(コンデンサのインピーダンス)
>=e^(πj/2)×α
>(ここで、α=ωL-(1/(ωC))とおいてみました。)

より、共振状態とは、α=0のとき、
ω=1/√(LC)
です。

（ωは、家庭用コンセントでは、f(周波数)=50(Hz)or60(Hz)ですので、ω=2πfより、ωが求まります。これに合うように、L,Cを直列接続すれば良いです。ただし、実験したら火事になる恐れがあるのでやめて下さい。）

　よって、交流電源電圧
V=Asinωt (ただし、ω=1/√(LC))
が流れたときに、共振します。

　このときには、どの時点の交流電流が流れても、互いのインピーダンスZは互いに打ち消し合っていることからも分かるように、コイルやコンデンサの各電圧は変化していても、合成した電圧は、常に打ち消し合っています。

　ですが、このときには、結果的に短絡状態（コイルとコンデンサが共にない状態）ですので、抵抗まで無いと言われると、I=∞の電流が流れます。（もちろん、電源の直列された内部抵抗rがあるため、現実的にはI=∞ではありませんが。）

　以上より、質問者さんの見ている図は、現実問題ではRもつなげなければ、過電流が流れてしまい、実現できません。おそらく、その図では理論的な話しをしているために作られた図ではないでしょうか？

　つまり、Rや過電流を考えずに、キルヒホッフの理論を基に、電圧は常に打ち消し合っているということだけを理解してもらうためだけの図ではないでしょうか？

>リード線の抵抗R=0、また、コイルの抵抗も０として解説してあり

という時点でも明らかなように、現実的には作れない、または、作って実験してはいけない回路です。

No.11 回答者： ruto 回答日時： 2005/03/12 08:34

>電位差のない所は電流が流れないはずなのに流れているという矛盾点です。

電位差が無いのは結果であって、電位差が無いから電流が流れないと考えるのは、短絡的な考えです。
　即ち電位差Vは　V＝R×IここでR＝0なら電流Iがいくら流れてもV＝0になります。
　電流は外部電源から供給されますので、コイルとコンデンサのリアクタンスが等しく、打消しせば、外部電源を短絡した状態になり、多大な電流が流れます。
　例えば外部電源Vの内部インピーダンスをｒとし、超伝導のリード線で短絡するとI＝V/ｒなる電流が流れ、外部電源の端子電圧は０ボルトになります。
　０ボルトは電流Iが流れた結果０ボルトであって０ボルトなのに電流が流れるというのは考え方の順序が逆です。
　理解出来ますか。

この回答への補足

>即ち電位差Vは　V＝R×IここでR＝0なら電流Iがいくら流れてもV＝0になります。
私の参考書には、LC共振回路のリード線の抵抗R=0、また、コイルの抵抗も０として解説してあり、Vつまり
コイルの両端の電位差-Ldi/dt、コンデンサーの両端の電位差Q/Cは（キルヒッホッフ法則により）各瞬間毎等しい。つまりVは変化しています。よく理解できません。

補足日時：2005/03/12 09:11

No.10 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/11 22:55

>Z=√(R^2+(ωL+(1/(ωC)))^2)

=R
>となります。
>よって、共振(α=0)回路では、I=V/RによってIが求まります。

　今までの解説により、話をまとめると、
「L,Cが互いに起電力を打ち消し合っても、
I=V/Rより、交流電源電圧が全てRにかかり、
その閉回路には、電流Iが流れる。」
と考えられますよね。

　即ち、共振回路でも電流は流れます。

この回答への補足

まだ、難しい式は、よくわかりません。ご指導を頂き自分の疑問点がはっきりしてきました。コイルとコンデンサーを結ぶリード線（２本ある。それをT,Uとする）の電位差は各瞬間毎常に等しい。ということは、
T上の２点の電位差は０（もちろんU上の２点も）。電位差のない所は電流が流れないはずなのに流れているという矛盾点です。この事に説明してもらえるとありがたいです。

補足日時：2005/03/12 07:30