アフィン空間の理解についての確認

Question

独学で勉強しているのですが、アフィン空間の理解があっているのか自身がありません。

以下のように理解しているのですが、あっていますでしょうか。

----------------------
とりあえず３次元で考えます。
3次元空間　E3 上の任意の点 O とベクトル空間 V3 から三つのベクトル a1, a2, a3 （ただし、ノルムが1 とは限らず、また互いに直交するとも限らない）からなるアフィン座標系Σ｛O:a1, a2, a3} なるものを考えます。
で、たとえば、任意の点P(∈E3) について座標系Σを使って表すと、位置ベクトルOPはξ1a1+ξ2a2+ξ3a3（ξ1～3 ∈R) とあらわすことができ、また点Pの座標は(ξ1,ξ2,ξ3 )とあらわすことができる。このとき,集合A3={(ξ1,ξ2,ξ3 )} とするとと、このA3 こそがアフィン空間となる。

てな感じで理解しているのですが、この集合A3 （アフィン空間）とは要するに添付画像中のひしゃげた空間全体という理解であっていますか。

mtrajcp · Accepted Answer

アフィン空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%A9%BA%E9%96%93
に
書いてある通り

集合Aと体K(=R)上のn次元ベクトル空間Vの組(A,V)がK上のn次元アフィン空間であるとは,
次の3条件が成り立つときにいう.

1.任意のP∈A,a∈Vに対し,
↑PQ=a
を満たすQ∈Aはただ一つ存在する。
これを Q = T_a(P) あるいは Q = P + a と記し、
a が定める写像 T_a : A → A を a の定める平行移動という。

2.任意の a, b ∈ V に対し、
T_b〇T_a=T_{a+b}
が成り立つ。
すなわち、
任意の点 P ∈ A に対し、
(P + a) + b = P + (a + b) が成り立つ。

3.A の任意の二点 P, Q の組 (P, Q) に対し、
Q = P + a を満たす a ∈ V がただ一つ定まる。
これを
a=↑PQ
と表す。

mtrajcp · Answer

aベクトル=ベクトルPQ を同じに扱うというのは
基底の長さとか内積とかを無視して
同じ2次元空間R^2のベクトル要素として扱うのです
だから

{e1,e2}は2次元
{u1,u2}は3次元だから
底の取り方によっても、{e1,e2}＝{u1,u2}　という場合はなく
本来{e1,e2}≠{u1,u2}なのだけれども

{e1,e2}={u1,u2}を同じに扱うという意味なのです

ありものがたり · Answer

＞ Vの基底をe1,e2 ととれば

ひとつのベクトル空間に基底の取り方は無限にあります。

＞ {e1,e2}≠{u1,u2} なので

No.16 では、{e1,e2}={u1,u2} とした場合の話をしています。
No.10 の例もそうなっているように見えます。

アフィン空間の話をするまでもなく、
ひとつのベクトル空間に入れることができる距離は無数にあります。
与えられた内積空間の部分空間に、もとの内積空間の距離とは
異なる距離を定義することは可能です。
そのことが意義を持つような応用もありますが、それでも依然として、
部分空間にもとの空間の距離の定義域を制限したもの
が入れられることに変わりはありません。

ありものがたり · Answer

はて？

No.10 の例では、
A の点 P = p₁u₁ + ｐ₂u₂ + u₀ と
Q = q₁u₁ + q₂u₂ + u₀ の間の距離 PQ は、
V = R² の元 →PQ = (q₁-p₁)u₁ + (q₂-ｐ₂)u₂
の長さと同じですが。

mtrajcp · Answer

原点PはAの任意の点だから
任意の点が原点になるのです

アフィン空間の例)

u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0
A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2

P=u1+u2+u0∈A
Q=2u1+2u2+u0∈A
R=3u1+3u2+u0∈A
↑a=(1,1)∈V
とすると

↑PQ=↑a=↑QR

↑PQ=↑QR

左辺の原点はPだけれども右辺の原点はQ
P≠Q
だから
原点は不定

ありものがたり · Answer

＞ アフィン空間は固定された原点を持たないのに、
＞ 長さなるものが計量できるのですか？

ベクトル空間 V 上のアフィン空間 A を考えると、
A の元の和やスカラー倍は意味を持ちませんが
A の元どうしの差は V の元になります。
ベクトル空間 V が内積空間であれば、
A の 2点間の距離が V のノルムによって定義できます。

mtrajcp · Answer

aベクトル=ベクトルPQ を同じに扱うというのは
基底の長さとか内積とかを無視して
同じ2次元空間R^2のベクトル要素として扱うのです
だから
図示等できません
Pを常に2次元ベクトルの原点として扱うので
原点は常に移動するので不定となります

mtrajcp · Answer

アフィン空間の例)

u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0
----------------------------
OP ベクトル
の
OはV=R^2の要素
O∈R^2
PはA⊂R^3の要素
P∈R^3
OとPの属する空間は別なのです
だから

OP ベクトル
は存在しません
-----------------------
A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2

とする
Aはベクトル空間ではないけれども
任意のP∈Aに対して
B(P)={Q-P|Q∈A}
は
R^3の部分ベクトル空間になり
B(P)={xu1+yu2|(x,y)∈R^2}
だから
f:B(P)→R^2
f(xu1+yu2)=(x,y)
とすると
fは全単射線形写像
B(P)とR^2はベクトル空間として同型だから
B(P)とR^2を同一視するのです

ベクトル a = ベクトルPQ
は
aとPQの長さは異なるけれども同じベクトルとして扱うのです

ベクトル空間の定義には長さとか内積の定義は含まれません
長さとか内積は
同一空間内のベクトルを比較するためにあるので
異なる空間のベクトルの長さを比較するのは無意味なのです

ありものがたり · Answer

＞ 二つ目：アフィン空間とベクトルの長さ

この人は、なぜ、アフィン空間に長さが無いと思っているのだろう？
アフィン空間は、ベクトル空間上に定義されるものです。
ベクトル空間に長さが入るとは限りませんが、
もとのベクトル空間が長さを持てば、その上に定義された
アフィン空間にも長さはあります。

mtrajcp · Answer

アフィン空間の例)

u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0

A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2

とする

1.
任意のP=x0u1+y0u2+u0∈A,a=(x,y)∈V
に対して
Q=(x0+x)u1+(y0+y)u2+u0∈A
はただ1つ存在する

Q=P+a
Q{(x0+x)u1+(y0+y)u2+u0}=P(x0u1+y0u2+u0)+a(x,y)

の右辺はベクトルの加法記号(+)を使っていますが

P∈R^3とa∈R^2の属する空間は違うのでベクトルの加法ではありません

この右辺の(+)記号は[平行移動させる]に意味と解してもよいけれども
(+)はベクトルの加法ではないので
OPベクトル＋a（ベクトル）のように解してはいけません

2.
P,Qの属する空間Aと
aの属する空間Vは違うのです

e1=(1,0)
e2=(0,1)
aベクトルの長さはVの基底を{e1,e2}とすると
a=xe1+ye2
|a|
=√(xe1+ye2,xe1+ye2)
=√{x^2|e1|^2+2xy(e1,e2)+y^2|e2|^2}

u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
PQベクトルの長さはAの基底を{u1,u2}とすると

PQ=xu1+yu2
|PQ|
=√(xu1+yu2,xu1+yu2)
=√{x^2|u1|^2+2xy(u1,u2)+y^2|u2|^2}

{e1,e2}≠{u1,u2}なので

aベクトル
と
PQベクトル
は
同量の長さを持ちません

アフィン空間の理解についての確認