独学で勉強しているのですが、アフィン空間の理解があっているのか自身がありません。
以下のように理解しているのですが、あっていますでしょうか。
----------------------
とりあえず3次元で考えます。
3次元空間 E3 上の任意の点 O とベクトル空間 V3 から三つのベクトル a1, a2, a3 (ただし、ノルムが1 とは限らず、また互いに直交するとも限らない)からなるアフィン座標系Σ{O:a1, a2, a3} なるものを考えます。
で、たとえば、任意の点P(∈E3) について座標系Σを使って表すと、位置ベクトルOPはξ1a1+ξ2a2+ξ3a3(ξ1~3 ∈R) とあらわすことができ、また点Pの座標は(ξ1,ξ2,ξ3 )とあらわすことができる。このとき,集合A3={(ξ1,ξ2,ξ3 )} とするとと、このA3 こそがアフィン空間となる。
てな感じで理解しているのですが、この集合A3 (アフィン空間)とは要するに添付画像中のひしゃげた空間全体という理解であっていますか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
アフィン空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95 …
に
書いてある通り
集合Aと体K(=R)上のn次元ベクトル空間Vの組(A,V)がK上のn次元アフィン空間であるとは,
次の3条件が成り立つときにいう.
1.任意のP∈A,a∈Vに対し,
↑PQ=a
を満たすQ∈Aはただ一つ存在する。
これを Q = T_a(P) あるいは Q = P + a と記し、
a が定める写像 T_a : A → A を a の定める平行移動という。
2.任意の a, b ∈ V に対し、
T_b〇T_a=T_{a+b}
が成り立つ。
すなわち、
任意の点 P ∈ A に対し、
(P + a) + b = P + (a + b) が成り立つ。
3.A の任意の二点 P, Q の組 (P, Q) に対し、
Q = P + a を満たす a ∈ V がただ一つ定まる。
これを
a=↑PQ
と表す。
No.18
- 回答日時:
aベクトル=ベクトルPQ を同じに扱うというのは
基底の長さとか内積とかを無視して
同じ2次元空間R^2のベクトル要素として扱うのです
だから
{e1,e2}は2次元
{u1,u2}は3次元だから
底の取り方によっても、{e1,e2}={u1,u2} という場合はなく
本来{e1,e2}≠{u1,u2}なのだけれども
{e1,e2}={u1,u2}を同じに扱うという意味なのです
以下No12の回答からの引用ですが、
B(P)={Q-P|Q∈A}={xu1+yu2|(x,y)∈R^2}
写像f を
f:B(P)→R^2
f(xu1+yu2)=(x,y) とする。
そうするとf(PQベクトル(Q-Pベクトル)) → (x,y) ∈R^2 と写され、またPQ=aベクトル(a∈V)とおいたときのaベクトルも、f(aベクトル) →(x,y) ∈R^2 と写される。つまり、アフィン空間上のPQ も付随ベクトル空間上のa も R^2 空間上では同じ数ベクトル(同じ長のベクトル)に写される。
なので、アフィン空間A と付随ベクトル空間V上だけで両法の元を比較しても長さが同じなどということはないが、両方の元を数ベクトル空間R^n に写すと同じ数ベクトル(x1,x2,....xn) (x1,x2,...xn∈R) に写される場合があり、この場合は(数ベクトル空間でみるかぎりは)長さが同じと説明されることもある、的な感じですかね。
No.17
- 回答日時:
> Vの基底をe1,e2 ととれば
ひとつのベクトル空間に基底の取り方は無限にあります。
> {e1,e2}≠{u1,u2} なので
No.16 では、{e1,e2}={u1,u2} とした場合の話をしています。
No.10 の例もそうなっているように見えます。
アフィン空間の話をするまでもなく、
ひとつのベクトル空間に入れることができる距離は無数にあります。
与えられた内積空間の部分空間に、もとの内積空間の距離とは
異なる距離を定義することは可能です。
そのことが意義を持つような応用もありますが、それでも依然として、
部分空間にもとの空間の距離の定義域を制限したもの
が入れられることに変わりはありません。
>>No.16 では、{e1,e2}={u1,u2} とした場合の話をしています。
なるほど。
つまり、Aに付随するベクトル空間で内積が定義されており、かつ、両空間でそれこそ、{e1,e2}={u1,u2} となるような底をもってくる、というお約束をしておけば、両空間で長さが保たれる、ということですかね。
年ためmtrajcp さんにも確認してみます。
No.16
- 回答日時:
はて?
No.10 の例では、
A の点 P = p₁u₁ + p₂u₂ + u₀ と
Q = q₁u₁ + q₂u₂ + u₀ の間の距離 PQ は、
V = R² の元 →PQ = (q₁-p₁)u₁ + (q₂-p₂)u₂
の長さと同じですが。
>>V = R² の元 →PQ = (q₁-p₁)u₁ + (q₂-p₂)u₂
この右辺の u1, u2 はアフィン空間の底ですよね。
でもPQベクトル=aベクトル(∈V) とおいたとき、Vの基底をe1,e2 ととればa= xe1+ye2 (x,y∈R) と表せるはずですが、この e1 ,e2 ∈V と u1,u2 ∈A
は、{e1,e2}≠{u1,u2} なので、PQベクトルとa ベクトルの長さは同じではない、というのがmtrajcp さんの回答かなと思ったのですが。何か私読み間違えをしていますかね。。。
No.15
- 回答日時:
原点PはAの任意の点だから
任意の点が原点になるのです
アフィン空間の例)
u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0
A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2
P=u1+u2+u0∈A
Q=2u1+2u2+u0∈A
R=3u1+3u2+u0∈A
↑a=(1,1)∈V
とすると
↑PQ=↑a=↑QR
↑PQ=↑QR
左辺の原点はPだけれども右辺の原点はQ
P≠Q
だから
原点は不定
No.14
- 回答日時:
> アフィン空間は固定された原点を持たないのに、
> 長さなるものが計量できるのですか?
ベクトル空間 V 上のアフィン空間 A を考えると、
A の元の和やスカラー倍は意味を持ちませんが
A の元どうしの差は V の元になります。
ベクトル空間 V が内積空間であれば、
A の 2点間の距離が V のノルムによって定義できます。
>>A の元どうしの差は V の元になります。
>>ベクトル空間 V が内積空間であれば、
>>A の 2点間の距離が V のノルムによって定義できます。
え、でもmtrajcpさんがNo.10 の回答で指摘されているように、Aの2点間の距離とそのV上のベクトルのノルムは同じ量とは限らないと思うのですが。
たとえば、点P,Q ∈A 、PQ を点P,Qの差を表すベクトル(displacement vector) 、またa(ベクトル) ∈V (※Vは計量ベクトル空間) としたときに、PQ= a であるとしても、PQのノルムと a のノルムは同じとは限らないと思うのですが。つまり||PQ|| ≠ ||a|| 。それでも、このa のノルムの定義をもって、PQのノルムと扱うのですか?
No.13
- 回答日時:
aベクトル=ベクトルPQ を同じに扱うというのは
基底の長さとか内積とかを無視して
同じ2次元空間R^2のベクトル要素として扱うのです
だから
図示等できません
Pを常に2次元ベクトルの原点として扱うので
原点は常に移動するので不定となります
No.12
- 回答日時:
アフィン空間の例)
u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0
----------------------------
OP ベクトル
の
OはV=R^2の要素
O∈R^2
PはA⊂R^3の要素
P∈R^3
OとPの属する空間は別なのです
だから
OP ベクトル
は存在しません
-----------------------
A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2
とする
Aはベクトル空間ではないけれども
任意のP∈Aに対して
B(P)={Q-P|Q∈A}
は
R^3の部分ベクトル空間になり
B(P)={xu1+yu2|(x,y)∈R^2}
だから
f:B(P)→R^2
f(xu1+yu2)=(x,y)
とすると
fは全単射線形写像
B(P)とR^2はベクトル空間として同型だから
B(P)とR^2を同一視するのです
ベクトル a = ベクトルPQ
は
aとPQの長さは異なるけれども同じベクトルとして扱うのです
ベクトル空間の定義には長さとか内積の定義は含まれません
長さとか内積は
同一空間内のベクトルを比較するためにあるので
異なる空間のベクトルの長さを比較するのは無意味なのです
No.11
- 回答日時:
> 二つ目:アフィン空間とベクトルの長さ
この人は、なぜ、アフィン空間に長さが無いと思っているのだろう?
アフィン空間は、ベクトル空間上に定義されるものです。
ベクトル空間に長さが入るとは限りませんが、
もとのベクトル空間が長さを持てば、その上に定義された
アフィン空間にも長さはあります。
回答ありがとうございます。
>>この人は、なぜ、アフィン空間に長さが無いと思っているのだろう?
>>もとのベクトル空間が長さを持てば、その上に定義された
アフィン空間にも長さはあります。
本当に何度も素人質問をするようで恐縮なのですが、アフィン空間は固定された原点を持たない(No5の回答)のに、長さなるものが計量できるのですか?
No.10
- 回答日時:
アフィン空間の例)
u0=(0,0,1)
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
(x,y,1-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)+(0,0,1)=xu1+yu2+u0
A={xu1+yu2+u0|(x,y)∈R^2}
V=R^2
とする
1.
任意のP=x0u1+y0u2+u0∈A,a=(x,y)∈V
に対して
Q=(x0+x)u1+(y0+y)u2+u0∈A
はただ1つ存在する
Q=P+a
Q{(x0+x)u1+(y0+y)u2+u0}=P(x0u1+y0u2+u0)+a(x,y)
の右辺はベクトルの加法記号(+)を使っていますが
P∈R^3とa∈R^2の属する空間は違うのでベクトルの加法ではありません
この右辺の(+)記号は[平行移動させる]に意味と解してもよいけれども
(+)はベクトルの加法ではないので
OPベクトル+a(ベクトル)のように解してはいけません
2.
P,Qの属する空間Aと
aの属する空間Vは違うのです
e1=(1,0)
e2=(0,1)
aベクトルの長さはVの基底を{e1,e2}とすると
a=xe1+ye2
|a|
=√(xe1+ye2,xe1+ye2)
=√{x^2|e1|^2+2xy(e1,e2)+y^2|e2|^2}
u1=(1,0,-1)
u2=(0,1,-1)
PQベクトルの長さはAの基底を{u1,u2}とすると
PQ=xu1+yu2
|PQ|
=√(xu1+yu2,xu1+yu2)
=√{x^2|u1|^2+2xy(u1,u2)+y^2|u2|^2}
{e1,e2}≠{u1,u2}なので
aベクトル
と
PQベクトル
は
同量の長さを持ちません
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皆さん回答ありがとうございます。
回答考察させていただいております。もうしばらくお待ちください。
参考までに、私がアフィン空間を勉強するにあたり利用した書籍の該当ページを画像添付しておきます。
岩波基礎数学選書『線形空間 アフィン幾何』伊原信一郎・河田敬義著 18,19,20 p です。
18p
https://www.dropbox.com/sh/cbld79r4jz60xcm/AAB6G …
19p
https://www.dropbox.com/sh/cbld79r4jz60xcm/AAB6G …
20p
https://www.dropbox.com/s/6pn2q8kma3c6emd/20p.jp …
ありがとうございます!
以下はテキスト19pの切り抜きですか、みなさんからすると、この説明や表記でA3が固定された原点をもたないことや、このA3が”高次のベクトル空間の中で部分ベクトル空間を(原点を含まないように)
平行移動したもの”(※ No1の回答から引用) であることを読み取れるものなのですか?
https://www.dropbox.com/s/ntssvnaabavfdfz/19p_%E …
みなさん、本当に勉強になっています。恐縮ですが、二つほど確認させてください。
一つ目:点とベクトルの加法
mtrajcp さんがNo2 でwikipedia の定義を紹介してくださっていますが、
条件1の、” P∈A, a ∈V に対し、↑PQ =a を満たすQ∈A はただ一つ存在する、これをQ = T_a(P) あるいはQ = P+a と記し、...” の箇所なのですが、この Q = P + a の右辺は点とベクトルの加法をしてますが、これが少々ひっかかります。この右辺の + 記号は 要するに平行移動させる、の意味ですか? あるいは 添付画像のように、OPベクトル+a (ベクトル) のように理解するのですか?
二つ目:アフィン空間とベクトルの長さ
アフィン空間はしばしば長さを考えない、と説明されていますが、PQベクトル= a ベクトル(同じくmtrajcpさんの回答No2 中 条件1より参照)である場合、a ベクトルはベクトル空間に横たわる長さを持つベクトルなので、これと同じPQベクトルもやはり同量の長さを持つはず。これってアフィン空間が長さを考えない空間であることと矛盾していませんか。
回答ありがとうございます。
1. に関して質問なのですが、
>> ...Q=P+a
Q{(x0+x)u1+(y0+y)u2+u0}=P(x0u1+y0u2+u0)+a(x,y) ....
の箇所なのですが、この右辺の(x0u1+y0u2+u0) は結局OP ベクトルではないのですか?
No10の回答の2. を拝見いたしまして、ベクトルa (∈V) の長さと ベクトルPQ (∈ A アフィン空間)
の長さが同じとは限らないというのは理解しました。
しかし、ではこの ベクトル a = ベクトルPQ は一体何を意味するのですか。
この「=」 は、単にベクトル空間上に横たわる ベクトル a を平行移動すると アフィン空間上のPQベクトルに重なる(ただし長さが一致するとは限らないが)ということを意味するのですか?
回答ありがとうございます。
なんか私、いろいろ添付図も間違っていたので上げなおします。
OP+aベクトルと考えてはいけない旨理解しました。
もう一つの、 aベクトル=ベクトルPQ を同じに扱うというところなのですが、これは aベクトル - PQベクトル = 0 ベクトル、すなわち添付図中の原点O(0,0,0)になる、という認識であっていますでしょうか。
ほんとうに何度もお付き合いいただきありがとうございます。
それで、「aベクトル=PQベクトル」 というのはアフィン空間上の2点P, Q の差をあらわすベクトル(displacement vector) は、アフィン空間でなく(mtrajcpさんの例だと)数ベクトル空間R^2 に存在している、ということですかね。
>>Pを常に2次元ベクトルの原点として扱うので
原点は常に移動するので不定となります
すみません、原点にまだとらわれていました。
しかし、a-PQ=0ベクトル、すなわち任意の点Pから移動していないもの、と考えることは間違いではないですよね。
回答ありがとうございます。
すみません、No10のご回答で長さに関するご説明(2.以降)のところで確認なのですが、
No10(の2. 以降)は、aベクトル(∈V) とPQベクトル(∈A) のについて、||a||≠||PQ|| の理由として、両空間の底が違うから(つまり{e1,e2}≠{u1,u2})、とのご説明だと思うのですが、
Vの底とAの底をとれば必ず{e1,e2}≠{u1,u2} のような関係になる、というわけではないですよね。つまり底の取り方によっては、{e1,e2}={u1,u2} という場合もあり、その場合は||a||=||PQ|| になる、という認識であっていますでしょうか。