積分で面積を求める問題が全くわかりません

y=e^-x･sinx , y=0 (0≦x≦2π)
この直線、曲線で囲まれた面積を求めるという問題で、
解き方が全くわかりません。
解法を教えてください。

質問者からの補足コメント

• S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } は、どういった式なんですか？
  何か公式を用いているんですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/11/14 23:11

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/14 21:00

y=e^{-x}sinx

y=0
(0≦x≦2π)

S=∫_{0～2π}(e^{-x}sinx)dx
とすると

S
=[-e^{-x}sinx]_{0～2π}+∫_{0～2π}(e^{-x}cosx)dx
=∫_{0～2π}(e^(-x)cosx)dx
=[-e^{-x}cosx]_{0～2π}-∫_{0～2π}(e^{-x}sinx)dx
=1-e^{-2π}-∫_{0～2π}(e^{-x}sinx)dx
=1-e^{-2π}-S

2S=1-e^{-2π}

∴
S
=
(1-e^{-2π})/2

この回答へのお礼

友達は、0～πとπ～2πのときでわけないといけないと言っていたのですが、わけなくていいんですか？

お礼日時：2021/11/14 21:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/14 22:07

まず、y = (e^-x)sin x と y = 0 を見比べて、

(e^-x)sin x = 0 となる x を求めます。
x = nπ (n は整数) ですが、
問題に 0≦x≦2π という制限が付いているので
x = 0, π, 2π だけですね。 この中で
最小のものが 0、最大のものが 2π ですから、
求めるべき面積は
S = ∫[0,２π] ｜ (e^-x)sin x - 0 ｜ dx　　←[1]
　= ∫[0,２π] (e^-x)｜sin x｜ dx　です。

あとは、被積分関数の中の絶対値を外すときに
0≦x≦π と π≦x≦2π の場合分けが発生します。
S = ∫[0,π] (e^-x)(sin x) dx + ∫[π,２π] (e^-x)(-sin x) dx
　= ∫[0,π] (e^-x)(sin x) dx - ∫[π,２π] (e^-x)(sin x) dx
となります。
後半の場合分けは、単なる計算上の手技ですから
[1] の立式とは区別して考えたほうが、話が明快になると思います。

不定積分 F(x) = ∫(e^-x)(sin x) dx をひとつ求めて、
S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } を計算すればよいことになります。
部分積分を2回使って
F(x) = (-e^-x)(sin x) - ∫(-e^-x)(cos x) dx
　　= - (e^-x)(sin x) + ∫(e^-x)(cos x) dx
　　= - (e^-x)(sin x) + (-e^-x)(cos x) - ∫(-e^-x)(-sin x) dx
　　= - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) - ∫(e^-x)(sin x) dx
　　= - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) - F(x) + C　{Cは任意定数}
なので、
F(x) = (1/2){ - (e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) + C }　です。
以後、 F(x) は C = 0 のものを使いましょう。

S = 2F(π) - F(0) - F(2π)
　= { - (e^-π)(sin π) - (e^-π)(cos π) }
　　- (1/2){ - (e^-0)(sin 0) - (e^-0)(cos 0) }
　　- (1/2){ - (e^-2π)(sin 2π) - (e^-2π)(cos 2π) }
　= (e^-π)
　　- (1/2){ - (e^0) }
　　- (1/2){ - (e^-2π) }
　= (e^-π) + (1/2) + (1/2)(e^-2π)
　= (1/2){ 1 + 2(e^-π) + (e^-2π) }
　= (1/2){ 1 + 1/e^π }^2.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/14 23:37

＞ S = F(π) - F(0) - { F(2π) - F(π) } は、どういった式なんですか？

∫[a,b] F’(x) dx = F(b) - F(a) が御不満かね？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/15 06:19

#1です間違えました訂正します

y=e^{-x}sinx
y=0
(0≦x≦2π)

S=∫_{0～2π}|e^{-x}sinx|dx
F(x)=∫(e^{-x}sinx)dx
とすると

F(x)
=∫(e^{-x}sinx)dx
=-e^{-x}sinx+∫(e^{-x}cosx)dx
=-e^{-x}sinx-e^{-x}cosx-∫(e^{-x}sinx)dx
=-e^{-x}(sinx+cosx)-F(x)

2F(x)=-e^{-x}(sinx+cosx)
F(x)=-e^{-x}(sinx+cosx)/2

F(π)=e^(-π)/2
F(0)=-1/2
F(2π)=-e^(-2π)/2

S
=∫_{0～π}(e^{-x}sinx)dx-∫_{π～2π}(e^{-x}sinx)dx
=F(π)-F(0)-{F(2π)-F(π)}
=2F(π)-F(0)-F(2π)
=
{1+2e^{-π}-e^(-2π)}/2