次の関数をxで微分せよ y＝（x＋1)(x^2−1)(x^2−7x＋1) Xのべき乗は「^」を使って

次の関数をxで微分せよ
y＝（x＋1)(x^2−1)(x^2−7x＋1)

Xのべき乗は「^」を使ってあらわしていますあ

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/24 18:52

積の微分則を知っていますか？

( f(x)g(x) )’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) です。
これに g(x) = G(x)H(x) を代入すると、
( f(x)G(x)H(x) )’ = f’(x)G(x)H(x) + f(x)( G(x)H(x) )’
　　　　　　　= f’(x)G(x)H(x) + f(x)( G’(x)H(x) + G(x)H’(x) )
　　　　　　　= f’(x)G(x)H(x) + f(x)G’(x)H(x) + f(x)G(x)H’(x)
になります。
y = （x＋1)(x^2−1)(x^2−7x＋1) であれば、
y’ = （x＋1)’(x^2−1)(x^2−7x＋1)
　　+ （x＋1)(x^2−1)’(x^2−7x＋1)
　　+ （x＋1)(x^2−1)(x^2−7x＋1)’
　= １(x^2−1)(x^2−7x＋1)
　　+ （x＋1)(2x)(x^2−7x＋1)
　　+ （x＋1)(x^2−1)(2x−7)
　= x^4 - 7x^3 + 7x - 1
　　+ 2x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 2x
　　+ 2x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 5x + 7
　= 5x^4 - 28x^3 + 7x^2 + 10x +6.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/25 09:44

右辺を展開しても、たかだか5次式ですから、強引に展開して

y = (x + 1)(x^2 - 1)(x^2 - 7x + 1)
　= (x^3 + x^2 - x - 1)(x^2 - 7x + 1)
　= x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 7x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 7x + x^3 + x^2 - x - 1
　= x^5 - 6x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 6x - 1

なので、
y' = 5x^4 - 24x^3 - 21x^2 + 14x + 6

#1 さんとは
「展開してから微分するか」
「微分してから展開するか」
の違いです。

でも、#1 さんは

（x＋1)(2x)(x^2−7x＋1)
　↓
2x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 2x

の展開が違っているような・・・。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/11/25 14:55

y=(x+1)(x²-1)(x²-7x+1) から

y=(x³+x²-x-1)(x²-7x+1) として、
積の微分の公式に当てはめれば、
後は 簡単な計算だけではないでしょうか。

更に、もう一度 展開して x の5次式にした方が、
計算そのものは 楽な様な 気がしますよ。