確率の問題について

問題とその解答なんですが、なぜCではなくP（順列）を使い計算すると不都合があるんですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/25 12:37

No.1 です。

順列を使ったら、
・2n から「赤1」「赤2」「赤3」を取り出す順列は
　(2n)P(3)
・そのうち、「赤1~3」の順番は問わないということなら、「3つの並べ方：3!」で割って
　(2n)P(3)/(3!)
となって、これは
　(2n)C(3)
に一致します。

全体を順列を使って解くなら、
・k回目に「赤1」を引いて、残り「2n - k」回に「赤2」「赤3」を引く順列は（ただし、2n - k ≧ 2）
　(2n - k)P(2)
・従って、k回目に「赤1」を引く確率は
　p1(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)
同様に、k回目に「赤2」を引く確率は
　p2(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)
k回目に「赤3」を引く確率は
　p3(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)

よって、k回目に「赤」を引く確率は
　p(k) = p1(k) + p2(k) + p3(k)
　　　= 3(2n - k)P(2) / (2n)P(3)

従って、Ｂが勝つ確率は
　p = p(2) + p(4) + ・・・ + p(2n-2)
　　= Σ[i=1～n-1]p(2i)
　　= [3/(2n)P(3)]Σ[i=1～n-1]{(2n - 2i)P(2)}
　　= [3/(2n)P(3)]Σ[k=1～n-1]{(2k)P(2)}
ここで、
　(2k)P(2) = (2k)!/(2k - 2)!
　　　　　= 2k(2k - 1)
　3/(2n)P(3) = 3/[(2n)!/(2n - 3)!]
　　　　　　= 3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]
なので
p = {3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1～n-1]{(2k)(2k - 1)}　　　①


一方、画像で示された「組合せ」で求めたものは
　p = [1/(2n)C(3)]Σ[k=1～n-1]{(2k)(2k - 1)/2}
であり、
　1/(2n)C(3) = 1/{(2n)!/[(2n - 3)!3!]}
　　　　　　= 6/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]
なので
p = {6/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1～n-1]{(2k)(2k - 1)/2}
　= {3/[(2n)(2n - 1)(2n - 2)]}Σ[k=1～n-1]{(2k)(2k - 1)}　　　②

ということで、①は②に一致しますよ？

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/11/25 16:00

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/25 11:40

順列を使っても答は出るか？

出ます。

nCr＝nPr／rPr＝nPr／r！

だから。

#1さんのおっしゃるように、出てきたものの並び順は考えないのだったらrPr＝r！で割ればよいですよね。
分母分子をr！で割っていて、それが明示されていないと思えば良いです。

この回答へのお礼

順列で考えた場合例えばk回目に赤1を引く確率は
　p1(k) = (2n - k)P(2) / (2n)P(3)となるらしいですが、このような場合白の配置は考えてないんですか？

お礼日時：2021/11/25 16:18

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/11/25 11:35

a, b, c から 2つ選ぶ場合、順番を区別すれば、

ab, ac, bc, ca, cb, ba の 6通りですね、
順番を区別しなければ、ab, ac, bc の 3通りです。

従って 順列を使って計算したときは 同じグループになった
組合せを 排除しなければなりません。
それが 組み合わせの式です。
上の例では、順列の半分が組合せですが、
問題によっては もっと複雑になる場合があります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/25 10:36

「白玉」「赤玉」はどれをとっても区別しない、どんな順番で取り出しても「色が同じなら同じとみなす」ということだからでしょう？

この回答へのお礼

順列を使っても問の答えは出ますか？

お礼日時：2021/11/25 10:54