sinθ/cosθをローラン展開したらどんな式になるでしょうか？

sinθ/cosθをローラン展開したらどんな式になるでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 調べてもいまいちわからなかったのですが、極座標の意味を分かりやすく教えていただけないでしょうか。

    補足日時：2021/12/17 23:22

• ですが、θが0°の時は分母が0になるため式は作れないのではないでしょうか。
  どうやって式を作るのでしょうか？

    補足日時：2021/12/18 17:51

• また、θが1°などの場合でもローラン展開出来るのでしょうか？

    補足日時：2021/12/18 21:01

• mtrajctさんありがとうございます！
  
  ちなみに、
  「θ=π/2 のまわりでの
  f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は
  
  θ-π/2=u とおくと
  
  f(θ)
  =sin(u+π/2)/cos(u+π/2)
  =-cos(u)/sin(u)
  =-cot(u)
  =1/u - u/3 - u^3/45 - (2/945)*u^5 - ...」
  との事ですが、だとしたら、画像のように展開するのは間違いでしょうか？
  それとも私のやり方でも良いでしょうか？
  仮に良い場合はなぜ良いのでしょうか？
  また、mtrajctさんのやり方は初めて見たのですが、
  なぜθ-π/2=u とおく事でθ=π/2 のまわりでのローラン展開を導いた事になるのでしょうか？
  
  質問が多くなりすいませんが、どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2021/12/22 08:09

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/22 11:20

その画像の展開は

θ≠π/2 のまわりでの
sinθ/cosθのローラン展開（テイラー展開と同じ）です
a≠π/2の時

f(θ)=tan(a)+{1/(cosa)^2}(θ-a)+…

となるけれども

a=π/2とすると　tan(π/2)=∞　だから

f(θ)=∞+{1/0^2}(θ-a)+…

となって展開できません

θ=π/2 のまわりでの
sinθ/cosθのテイラー展開はできないけれども

θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は

θ-π/2=u とおくと

f(θ)
=sin(u+π/2)/cos(u+π/2)
=-cos(u)/sin(u)
=-cot(u)
=1/u - u/3 - u^3/45 - (2/945)*u^5 - ...

=1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、a=π/2あるいはθ=π/2の時はテイラー展開は展開出来ない。しかし、ローラン展開はできる。ちなみに、a=π/2の周りでローラン展開した場合はどのような式になるのでしょうか？
また、なぜθ-π/2=uと置くとθ=π/2 のまわりでのローラン展開した事になるのか詳しく教えて頂けるでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2021/12/22 12:23

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/22 16:44

a=π/2の周りでローラン展開した場合は

f(θ)=1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

となるのです

ローラン展開の求め方は
ローラン級数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC …
に書いてある通り

複素関数 f(z) の点 c の周りでの（あるいは点 c を中心とする）ローラン級数は以下で与えられる：

Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^n

ここで、an はコーシーの積分公式の一般化である線積分

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz

によって与えられる定数である。
…

です

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/28 14:24

違います

その画像の式は
|x-a|<|a-π/2|の周りでのテイラー展開
最下行の式は
|θ|<π/2の周りでのマクローリン展開
で
0<|θ-π/2|<Rの周りでのローラン展開ではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、どうやって|x-a|<|a-π/2|と作ったのでしょうか？

お礼日時：2021/12/28 14:34

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/28 20:43

その画像の式は

|a|<π/2とした時の
|x-a|<min(π/2-a,a+π/2)でのテイラー展開
最下行の式は
|θ|<π/2でのマクローリン展開
であって
0<|θ-π/2|<πでのローラン展開ではありません

なお
テイラー展開の中心aはtan(a)の定義域内でなければならないから
a≠±π/2だから|a|<π/2としたのです
xもtan(x)の定義域内でなければならないから
x≠±π/2だから
|x-a|<min(π/2-a,a+π/2)
としたのです