『６÷２(１＋２)＝９』

「６÷２(１＋２)は１なのか９なのか」という問題がネットで話題になったことがあるそうです。
答えを１とする派は、6を2(１＋２)＝２×３＝６で割って１と計算し、９とする派は、６÷２で３，
３×(１＋２)＝３×３＝９と計算するそうです。前者の計算方法を①、後者を②とします。
ここでは、条件が何も付いていないのなら、②の計算方法がよいのではないか、という提案をします。
というのは、６÷２(１＋２)が６÷２(１ー１)だったらどうなるか、を考えてみてください。
①の計算方法だと、２(１ー１)＝２×０＝０で６を割るということになってしまいますが、②だと
まず、６÷２＝３となり、次に３×(１ー１)＝３×０＝０となるだけですから、簡単に計算できます。
つまり、まずは計算できることを優先するなら、①より②の計算方法のほうが、都合のよい場合が多いのではないかということです。
もともと、ずっと以前からこの手の問題はあって、9a²÷３aが、３aなのか3a³なのかという形で提出されていたようです。つまり、9a²/(3a)と計算するのか、(9a²/３)×aと計算するのかというもので、
前者(①の計算方法)だと、a＝０とa≠０の場合で分けて考える必要がありますが、後者(②の計算方法)ではその必要がなく計算できます。

質問者からの補足コメント

• では、本文にも書いたように(１－１)=０の場合は、どうするのでしょう？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/01/05 12:33

No.25 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/12 22:30

またまた補足情報です。

もう質問をはなれて、数式を調べるのが面白くなってきました。

またGoogleの話ですが、検索ボックスに
2√2　÷　2√2　と入力すると、＝　2　となります。

2 × √2 ÷ 2 × √2 という理屈の様ですが、
いくら何でも、これは無いと思います。
６÷２(１＋２)＝９を支持する人でも、ここは 1でしょう。
（2説を支持する方いますか？）
2√2 は、2 × √2　の乗算記号省略ではないと思います。

それから、もう一つ、明らかな矛盾を見つけました。
2x^2 ÷ 2x^2　です。
これを検索ボックスに入れると、2*​x^​2/​(2*​x^​2)と解釈して、 y = 1 のグラフを描きます。
しかしながら、その下に「問題の解き方」と称して、
解はx⁴　と表示します。

結局、Googleも、計算順序に関する完璧なルールを確立する事はできていないという事だと思います。
というわけで、６÷２(１＋２)　の問題は、きちんとしたルールを決めるのが意外と難しい、けっこう深い問題だと思います。

この回答へのお礼

度重なる貴重な情報、ありがとうございます。今のところ、計算順序は題意によって変わるから、問題ごとに、きちんと条件を提示する必要があるようですが、ここらへんで、数学として、どんな形で数式が表現されているかで、どう計算していくことにするかをルール化すべきだと思います。ルール化しておけば、出題者のほうがそれに応じて問題の数式の形式を整えてくるでしょうから。

お礼日時：2022/01/13 12:24

No.24 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/10 14:57

補足情報です。

Googleの計算規則がサービスによってブレている、と書いたのですが。色々試してみて、Googleの規則の様なものが分かったので報告します。
どうも、2xの様に、文字の前に数字があると、それは係数(?)と見なして、÷よりも優先という事の様です。
だから、グラフでは、2x ÷ 2x = (2 * x) ÷ (2 * x) = 1 です。
しかし、数と文字の間にカッコがあるとダメです。その場合は、乗算記号の省略と見なす様です。
例えば、2(x) ÷ 2(x) = 2 * x ÷ 2 * x = x² となります
この規則ならば、6 ÷ 2(1+2) = 9 は理屈が合います。Googleの規則がブレている、というのは訂正します。

これについて、Casioの計算サイトも調べてみました。
https://keisan.casio.jp/calculator
Googleと同様に、2x ÷ 2x = 1なのですが、
Casioはカッコがあっても、係数と見なす様で、2(x)÷2(x) = (2 * x) ÷ (2 * x) = 1 です。
つまり、文字の前に数が来たら係数とみなして、÷よりも優先。
Googleと異なりカッコがあってもＯＫ。2(x + 1)なども、2を係数として優先してくれる。
しかし、2(x)(y)÷2(x)(y) = 2 * x * y ÷ (2 * x) * y = y² となるので、
カッコの後は乗算記号の省略とみなして、÷が先という規則の様です。2(x)y も同様です。
カッコの前の数も係数とするCasioの規則は、Googleのよりも直感的に理解しやすいと思うのですが、
例えば、2(x + 1)(y + 1) ÷ 2(x + 1)(y + 1) = (y + 1)² だし、
2(x + 1)(y + 1) ÷ 2(y + 1)(x + 1) = (x + 1)² になります。
なぜこんな結果になるのか、最初分かりませんでしたが、どうも2(x + 1)の2は(x + 1)の係数だが、(x + 1)と(y + 1)の間は、乗算記号の省略とする様で、これだと文字の並ぶ順番によって結果が異なってきます。

ちなみに、「Wolfram|Alpha 日本語版：計算知能」https://ja.wolframalpha.com/　は乗算記号の省略箇所には一律 *を補います。
また、https://www.geogebra.org/　は、÷を認めず、問答無用で分数に直します。

いずれにせよ、各社で勝手に規則を決めているという印象で、これらを根拠に何が正解とか主張するのは無理と考えます。

この回答へのお礼

こちらがまるで知らなかった情報をお伝えいただき、本当にありがとうございます。

お礼日時：2022/01/11 11:36

No.23 回答者： masandokun 回答日時： 2022/01/09 14:24

No.22です。

失礼しました。
変数が含まれるか否かで、解析しているのかと思いましたが、
確かにサービス("グラフ"と"問題の解き方")によって解釈が違うだけですね。

No.22 回答者： masandokun 回答日時： 2022/01/09 13:22

大震災の時に出てきた話題ですね。

既に「計算式が悪い」として、決着はついているのかと思っていました。
No.21さんの報告を見て、Google凄いですね。
代数式と単なる計算を分けてプログラムしているようです。
これは知りませんでした。

No.21 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/08 07:15

9a²÷３aの解釈について、#20氏の指摘にも関連しますが、参考情報です。

Googleでグラフを描かせてみると、
9a²÷３a　=　3a、と解釈します。（変数をｘにして、9x^2÷3xと入力します）
a=0の時、Googleはどう解釈しているのか、分かりませんが。

ここでのGoogleの解釈は、省略された乗算記号は、÷より優先の様です。
ならば、６÷２(１＋２)=1となる筈ですが、やってみると9になります。サービスによって、解釈がブレています。

一方で、「Wolfram|Alpha 日本語版：計算知能」
https://ja.wolframalpha.com/　　では、
9a²÷３a　=　3a³、となります。(9a²/３)×aです。
この様に、9a²÷３aが、３aなのか3a³なのかという議論はあります。

なお、9a²÷(３a)　の場合は、
「3a　(a≠0について)」と表示されます。
質問者さんの様に心配しなくても、a＝０とa≠０の場合で分ければ良いだけの事です。

No.20 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/08 00:12

「ずっと以前から」のところに反応しておくと, こっちで確認した文献では

そんな (= 質問者の提案するような) 解釈, 見たことない
って完全に否定してるね.

それを今さらむしかえすか.

No.19 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/08 00:10

#18ですが、(１－１)=０の時の０除算は、不定ではなく、不能でした。

訂正します。

No.18 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/05 21:02

質問者さんの、元々の質問というか、提案について、

②の9説を採用すると、６÷２(１ー１)が0除算にならなくなる事がメリットだという内容について、#4氏への補足コメントにも関係します。

数式の計算順序について提案をなさるのは構いませんが、方向性がずれています。
0除算になる様な式を書いたら、それは0除算とすべきです。
(１－１)=０の場合は、①の計算順序では、もちろん0除算です、解は不定。
何も問題ない。

ある特定の数式が0除算になるから、計算順序を変更して0除算にならない様にするなど、本末転倒です。
例えば、1÷0+1は、徐法より加法を先に計算すると0除算にならない！とか言うのでしょうか。

No.17 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/04 21:47

補足情報ですが、Googleでは、今現在は6÷2(1+2)=9となってます。

だから、これが一般的という意見もあるようですが、去年、私が調べたときは、Googleは、これを1と答えていました。
正確にはこうです、6÷2(1+2)を検索ボックスに入力すると、Googleはこの式を「6÷(2*(1+2))」と変換して、電卓アプリに送り、これは1が答です。
しかし、電卓アプリの方に直接「6÷2(1+2)」と入力すると、これはそのまま9が答です。つまり、同じサイトで入力箇所が違うと結果が異なっているわけです。
現在は、電卓アプリの方に、結果を合わせています。
今は、6÷2(1+2)を「(6÷2)*(1+2)」と変換します。

いずれにせよ、会社の方針として決めているだけなので、これが正しいという根拠にはなりません。

No.16 回答者： hondarawa 回答日時： 2022/01/04 21:40

これはですね、1とか9とかいろいろ議論があるけれど、結局、何を根拠とするかだと思うんですよ。

科学法則とか定理なら、それは人間の都合と関係なく真理が存在します。しかし、計算の順序というのは、誰かが決めた規則です。

乗算記号が省略された項は、乗算記号や除算記号よりも優先という規則があるというのが1説で、
単純に×記号を補って計算すべきという規則があるというのが9説と思いますが、
いずれにせよ、それは誰がいつ決めた規則か、という事につきます。
数式自体が間違っている、分数にすべき、というのでも同じです。それ誰が決めたんですか、となります。

たぶん、これは文部科学省検定済み数学教科書(又は、これに相当する公的な文書)を探して、該当する記述を見つけてきた方が正しい、という事になろうと思います。が、そんな報告を誰も上げないのは、多分、これに関する規則は示されていないのだと思います。

で、そのものの規則がないなら、類似規則を敷衍すべきではないかと思うのですよ。
昔のことで記憶が薄れていますが、2x ÷ 2x = 1に相当する記述は教科書にもあった様に思います。
そう考えると、1説を採用するのが妥当だろう、と思います。
もちろん「誤解が生じるから、このような表記をするな」は、ありだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/01/05 12:36