線形代数のただの演習問題だとも思うのですが、うまく解けないのでヒントをいただけたらと思います。
n次複素正方行列Aが密度行列であるとは、正定値行列で、トレースが1である行列であることとします。すなわちエルミート行列で、固有値は全部非負でその和が1になるような行列です。
このときAは{α_1,・・・,α_n}なる[0,1]の実数でα_1+・・・+α_n=1を満たすものと、rank 1の射影行列{P_1,・・・,P_n}で単位の分解になっているもの(すなわちrank P_i=1、P_iP_j=0[if i≠j]、P_i^2=P_i=P_i^*[^*は共役転置]、P_1+・・・+P_n=I_n[I_nはn次単位行列])によってA=α_1P_1+・・・+α_nP_nのように分解することができます。これをシャッテン分解というそうです。ただし分解の仕方に一意性はありません。
このとき-Σα_ilog(α_i)を密度行列Aのフォン・ノイマン・エントロピーと呼ぶのですが、これがシャッテン分解の仕方によらず一意的に決まることを証明したいです。よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
シャッテン分解というのはただ単に固有展開のひとつですよね?シャッテン分解の定義より{α_1,...α_n}は必ずAの固有値の集合でなければなりませんがそれはAが与えられれば一意です。
ありがとうございます。{α_1,...α_n}は集合としてはユニークに決まるんですね。P_iの方が一意的に決まらない場合があるから、α_iの方も動くものだと決め込んでつまってしまっていました。ところでシャッテン分解は確かに固有展開になっているように思いますが、それは自明にわかることなのでしょうか。たとえばP_iP_j=OからA=α_1P_1+・・・+α_nP_nの右辺は同時対角化できるので、固有分解であることは直ちにわかりますが、同時対角化とは少し大げさすぎる気もしますし。
No.4
- 回答日時:
シャッテン分解という言葉がどの分野で使われているのか知りませんが、聴く限りシャッテン分解というのは、エルミート行列の対角化のことでしょう。
知る限りでは、密度行列 A に対して、その von Neumann エントロピーの定義を
(i) S(A) = - tr( A logA )
としているようです。このとき、A を対角化すると、von Neumann エントロピーは
(ii) S(A) = -Σα_i logα_i
と書けます。
もし、(ii)を定義とするのなら、(ii)から(i)を導けば、エントロピーが分解によらないことが分かります。
どうもありがとうございます。対角化というよりはたぶん正定値エルミート行列(トレース1)のスペクトル分解といった方が正確なように思います。無限次元化して、トレースクラスに属する自己共役作用素で、トレースが1であるようなものに対しても同様にvon Neumann エントロピーを定義するようです。こちらもコンパクト作用素のスペクトル分解にしたがってシャッテン分解を考える、とのことでした。検索する限り量子通信とか量子情報で出てくる感じがします。
No.1
- 回答日時:
朝にこういう格調高い質問があると、背筋がシャンとして今日も一日頑張ろうか。
。と思いますよ。敬服します。良く分かりませんが
ほんの参考までですが
1)背理法はどうでしょう?具体的計算で示せれば比較的楽でしょうか。
2)分解の仕方A,Bが存在して、各エントロピーがa,b
a =/ b であったとする。==>矛盾を引き出す
3)計算の途中でシャッテン分解の性質を利用する。
4)矛盾が引き出せれば、数学としては解けたことになりますね!
難しそうです。頑張ってください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
小6 比 身の回りにある「比」っ...
-
標準反応エントロピー
-
どうすれば4乗根3の2乗(?)がル...
-
日本語のアクセントについて教...
-
「論理」と「理論」の意味を小...
-
マーフィーの法則から脱するに...
-
指数の計算で 底は同じで異符号...
-
エンテレヒーについて
-
「楽しい」とは何ですか?
-
dU=TdS-pdVはどうやって出て...
-
混合による、融点の低下のメカ...
-
地球の誕生とエントロピーについて
-
Matthiessenの法則
-
日本語の理不尽:「恥」「恥じ...
-
なぜ地球は食物連鎖というルー...
-
哲学でいう反エントロピーとは...
-
最大エントロピー原理をpython...
-
疎水性相互作用とエントロピー
-
蓄積型エネルギー(枯渇性エネ...
-
カノニカル分布
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
人間の存在意義はエネルギーを...
-
小6 比 身の回りにある「比」っ...
-
「論理」と「理論」の意味を小...
-
標準反応エントロピー
-
日本語のアクセントについて教...
-
指数の計算で 底は同じで異符号...
-
どうすれば4乗根3の2乗(?)がル...
-
哲学でいう反エントロピーとは...
-
なぜ地球は食物連鎖というルー...
-
飽和した食塩水に砂糖は溶ける...
-
dU=TdS-pdVはどうやって出て...
-
エントロピーは増大する一方で...
-
「平和主義」と「事なかれ主義...
-
断熱圧縮は等エントロピー変化...
-
フェヒナーの法則について簡単...
-
宇宙は、開放系ですか?それと...
-
「師」と「士」の違い
-
断熱流と等エントロピー流の違...
-
徳山と在日朝鮮人
-
係助詞の結びの省略って なにが...
おすすめ情報