P=sinθ-(√3)cosθ[0≦θ≦π/2]の求め方が分かりません。 画像のように解いたのですが

P=sinθ-(√3)cosθ[0≦θ≦π/2]の求め方が分かりません。

画像のように解いたのですが、
P=cosxとすると、Pの値はx軸上の範囲になるから、小さい順に範囲は書くので、 向きを反対にして-1≦P≦√3になると思ったのですが、答えは逆でした。
なぜでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： nantokanaru 回答日時： 2022/04/07 18:59

３行目から４行目にかけて合成をする前に、

-（マイナス）を外に出してください。

cosの加法定理の基本形が出てきます。

４行目は
-２cos（θ＋π/6）となって、

後は141592さんが解いた流れと同じようにやれば、
不等号の向きが反対になります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/08 06:10

P=sinθ-√(3)cosθ=2((1/2)sinθ-(√(3)/2)cosθ)

=2(cos(-π/3)sinθ+sin(-π/3)cosθ)
=2sin(θ-π/3)

θ－π/3の範囲は -(1/3)π～(１/６)πだから
Pの取りうる値の範囲は
-√(3)～1

P==2(sin((5/6)π)sinθ+cos((5/6)π)cosθ)
=2cos(θ-(5/6)π)=-2cos(θ+(1/6)π)

θ-(5/6)πの範囲は -(5/6)π~-(1/3)π
Pのとりうる範囲は
-√(3)～1

No.2 回答者： nantokanaru 回答日時： 2022/04/07 19:11

失礼しました。

不等号だけが反対になるだけではなく、

-√３≦P≦１

になります。