和が一定であるときの積の最小値たとえば、 a≧1,b≧1,c≧1 で a+b+c=4 のとき、積

Question

和が一定であるときの積の最小値
たとえば、
a≧1,b≧1,c≧1 で a+b+c=4
のとき、積 abc の最小値はどうやって求めたら良いでしょうか。
また、もっと変数の個数が増えたらどうしますか？

endlessriver · Accepted Answer

1.
　f=abc , g=a+b+c-4=0・・・・・①
の定義域を考える。g=0 は　(4,00), (0,4,0), (0,0,4) を頂点と３角
形を含む無限平面となる。a,b,c≧1 を追加すると、上の平面の1部で
 (1,1,2),(1,2,1),(1,1,2)を頂点とする３角形になる。これをDとする。

この Dは有界閉集合なので、この上の連続関数 fは最大最小を持つ。

2.
a,b,c≧1から、f=abc は Dの境界で最小となる。①はa,b,cについて対
象なので a=1の場合だけ考えればよい。

すると
　f=bc , g=b+c=3
の最小を求めればよい。f=b(3-b) なので、この最小の候補は、bの両
端になる (b=3/2が最大)。このとき、c≧1 なので、b=1～2となり
　f(b,c)=f(1,2)=f(2,1)=2
が最小値となる。つまり、

(a,b,c)=(1,1,2),(1,2,1) で最小値、f=2 をとる。
a,b,cは対象なので、
(a,b,c)=(2,1,1)
も最小値となり、以上の3点となる。

3.
　f=x₁x₂…x[n] , g=x₁+x₂+…+x[n]-m=0 (m>n)
　x₁,x₂,…,x[n]≧1
とすると、同様の議論で g=0 の境界に最小がある。そこで
　x₁=1
とすると
　f=x₂…x[n] ,  g=x₂+…+x[n]-m+1=0 (m>n)
　x₂,…,x[n]≧1
とすると、同様の議論で g=0 の境界に最小がある。そこで、x₂=1
のようにで順次次数を下げていくと
　f=x[n-1]x[n] ,  g=x[n-1]+x[n]-m+n-2=0 (m>n)
　x[n-1],x[n]≧1

すると2項の議論より、
　x₁=x₂=…=x[n-1]=1 , x[n]=m-n+1
　x₁=x₂=…=x[n-2]=x[n]=1 , x[n-1]=m-n+1
において、最小値
　f=m-n+1
をとる。

同様に対称性から、次のn個の点
(1,…,m-n+1,…,1), (m-n+1,1,…,1),(1,…,1,m-n+1)
で最小値
　f=m-n+1
をとる。

endlessriver · Answer

最小値の候補は境界としましたが、その根拠が希薄だったので下記。

　a+b+c=4, a,b,c>1
のとき
　a'+b'+c=4 , a'=1, b'=b+a-1
とすると

　a'b'c-abc=(b'-ab)c=(b+a-1-ab)c={(1-a)b+a-1}c
　　　　　=(1-a)(b-1)c < 0　(a,b>1 なので、1-a<0, b-1>0)
となり、3角形の内部より、境界に最小値が存在するとわかる。

多変数でも、
　x₁'=1, x₂'=x₂+x₁-1, xi'=xi (i≧3)
とすれば、同じ議論ができる。

stomachman · Answer

> もっと変数の個数が増えたらどうしますか？

　問題の設定に沿ってうまく工夫するとエレガントに解けるかも知れないとしても、えー、そんなのめんどくせーし。エレガントとか要らんし。さっさと解けりゃいいし。という場合には

「クーン=タッカー（Kuhn-Tucker）の定理」を使います。これはラグランジュの未定乗数法を不等式条件の場合に拡張したもので：

R^nで定義された微分可能な実関数fが凸で、g[i](i=1,2,..,k), h[j](j=1,2,...,m)がAffine関数のとき、「凸領域Ωでf(ω)を最小化せよ。ただし g[i](ω)≦0 (i=1,2,..,k), h[j](ω)=0 (j=1,2,...,m)」という問題において、ベクトルω* が解になる必要十分条件は：
実数値ベクトル
　　α* = < α*[1], α*[2], ..., α*[k] >
　　β* = < β*[1], β*[2], ..., β*[m] >
が存在して
　　∂L(w*,α*,β*)/∂w = 0
　　∂L(w*,α*,β*)/∂β = 0
　　α*[i]g[i](w*) = 0 (i=1,2,..,k)
　　g[i](w*) ≦0 (i=1,2,..,k)
　　α*[i]＞0 (i=1,2,..,k)
を全部満たすこと。
（ただし、「p(ω)がAffine関数だ」とは、
　　p(ω) = Aω + b
と表せること。ただしA,bは定数で、Aは行列、bはベクトル。）

　で、ご質問の場合なら、a,b,cを成分とするベクトルω = < a, b, c >を考える。すなわち
　　ω[1] = a, ω[2] = b, ω[3] = c
だと思えば良い。たとえば a≧1 という条件は
　　g[1](ω) = 1 - ω[1]
というAffine関数を使って
　　g[i](ω)≦0
と表せる。また、a + b + c = 4 という条件は
　　h[1](ω) = ω[1] + ω[2] + ω[3] - 4
というAffine関数を使って
　　h[1](ω)=0
と表せる、という訳です。

tknakamuri · Answer

ラグランジュの未定乗数法で      停留点を求めると
h(a、b、c、λ)=abc十λ(a+b+c-4)
∂h/∂a=bc+λ=0
∂h/∂b=ac+λ=0
∂h/∂c=ab+λ=0
→ab=ac=bc→a=b=c→a=b=c=4/3→abc=64/27>2
これは、a=b=1、c=2→abc=2だから極大(最大)っぽい。

停留点はこれ一つだから
最小値は
平面、a+b+c=4をa≧1、b≧1、c≧1の条件でちぎって
出来た三角形の境界にあるはず。
#a、b、cをデカル卜座標の座標値と考えてます。

問題の対称性から三角形の―辺を調べればよいので
(a、b、c)=(1、1、2)、(1、2、1)の2点を結ぶ線
を媒介変数表示で
(a, b, c)=(1, 1+t, 2-t) (t=0～1)とすると

abc=(1+t)(2-t)=-t²+t+2=-(t-1/2)²+1/4+2
よって最小値は t=0か1の末端で  2

多次元はまだよく考えてないです(^_^;)

mtrajcp · Answer

1≦c=4-a-b 1≦4-a-b a+b≦3 1≦b≦3-a 1≦3-a a≦2 1≦a≦2 1≦a≦3-b 1≦3-b b≦2 1≦b≦2 abc=ab(4-a-b) x=a y=b 1≦x≦2 1≦y≦3-x≦2 f(x,y)=xy(4-x-y) とすると f_x=y(4-2x-y) f(1,y)=y(3-y) 10だからfは増加 (4-y)/20だからf(1,y)は増加 3/2

mtrajcp · Answer

(a,b,c)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
の時
abcの
最小値は
2
です

t_fumiaki · Answer

>>各変数は1以上の条件があります。
解っています。その条件を外せばそうなるから、条件付けてもキット、です。

相加平均≧相乗平均なので、a+b+c≧3･³√abc

ここで、n≧0を考えて見ると、a+b+c=(a-n)+(b+n)+cなので、
(a-n)(b+n)c＝c(ab+an-bn-n²)

abc-c(ab+an-bn-n²)=
abc-abc-acn+bcn+cn²=c(n(b-a)+n²)

b>aならばc(n(b-a)+n²)>0
つまり、abc>(a-n)(b+n)c

b>aならば、nを大きくすればする程、(a-n)(b+n)cは幾らでもabcより小さくなる。

∴最小値は存在しない。

こんな感じでドーですか？

t_fumiaki · Answer

いい問題かも。
積の最大値ならスパッと行きますが、最小値ね～。

多分無いのかも。

a,b,cのいずれかが、1/nになっていて、nが限りなく大きくなればなる程、全体の積は0に近づきますからね・・・・。

和が一定であるときの積の最小値 たとえば、 a≧1,b≧1,c≧1 で a+b+c=4 のとき、積

最小値の候補は境界としましたが、その根拠が希薄だったので下記。

> もっと変数の個数が増えたらどうしますか？

ラグランジュの未定乗数法で 停留点を求めると

1≦c=4-a-b

1.

(a,b,c)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)

>>各変数は1以上の条件があります。

いい問題かも。

似たような質問が見つかりました

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

和が一定であるときの積の最小値たとえば、 a≧1,b≧1,c≧1 で a+b+c=4 のとき、積

ラグランジュの未定乗数法で停留点を求めると