X³＋X²Y-X²-Yを因数分解すると、（X-1）（x²＋XY＋Y）になるのはなぜですか？教科書に解

X³＋X²Y-X²-Yを因数分解すると、（X-1）（x²＋XY＋Y）になるのはなぜですか？教科書に解答しかなく、解き方が載っていなかったのでわかる方教えてくださいm(_ _)m

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/04/20 15:26

慣れないうちは 分かり難いかもしれませんが、

問題の式を 並べ替えてみます。
習った 公式が使えるような形が 見えてくるかもしれません。

x³+x²y-x²-y=x³-x²+x²y-y=(x³-x²)+(x²y-y)
=x²(x-1)+y(x²-1)=x²(x-1)+y(x+1)(x-1)
=(x-1){x²+y(x+1)}=(x-1)(x²+xy+y) 。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/04/20 09:59

因数分解って、「こうすればよい」「そうすれば必ず因数分解できる」というやり方があるわけではなくて、いろいろと「試行錯誤」して見つけて行くものです。

いくつかのパターンや「使える公式」（＊）があるので、それをどう組み合わせて使うか、という「創意工夫」も必要です。

(*) 使える公式としては
　A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
　A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
　A^2 + (B + C)A + BC = (A + B)(A + C)
みたいなもの。

質問に示された例題では
X=1 のとき
　1³ + 1² ･Y - 1² - Y = 1 + Y - 1 - Y = 0
になるなあ、ということに気づけば、
　(X - 1)
という因数をもつことが分かりますね。
　(X - 1)(ほにゃらら)
と因数分解できれば、X=1 のとき「0」になりますから。

それが分かれば、(X - 1) が出るように変形して
　X^3 + X^2･Y - X^2 - Y
=（X^3 - X^2) + X^2･Y - Y　　←項の順番を入れ替えただけ
= X^2･(X - 1) + Y(X^2 - 1)　　←共通項でくくった
= X^2･(X - 1) + Y(X - 1)(X + 1)　　←A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)を使った
= (X - 1){X^2 + Y(X + 1)}　　←共通項 (X - 1) でくくった
= (X - 1)(X^2 + XY + Y)　　　←中カッコ内を開いた

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/20 08:38

思いつかない因数分解を扱う時は、

式をなるべく低次の変数についての式と見て整理します。
今回の式は X について 3次、Y について 1次なので
与式 = (X²-1)Y + (X³-X²) と見ます。
右辺の各係数を Y の入らない式として因数分解すると
X²-1 = (X+1)(X-1), X³-X² = X²(X-1).
ここから、共通因数 X-1 が見つかります。
括りだして、 与式 = (X-1)( (X+1)Y + X² ).
(X+1)Y + X² は、もうこれ以上どうにもなりそうにないので
展開して 与式 = (X-1)(XY+Y+X²) と書いておきましょう。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/20 00:21

因数分解した結果の式を展開してみて下さい。

その逆が因数分解のプロセスになります。

No.1 回答者： mygoonickname 回答日時： 2022/04/20 00:11

こんばんは。

この解説で正しいか何ともですが、１つの解き方になります。

X³＋X²Y-X²-Y
一旦、X³＋X²Y-X²-Y=0として、X=1を代入した場合、
1+Y-1-y ＝ 0となる。
上記から、X-1で割る事ができる事が分かります。

X³＋X²Y-X²-Yを、(X-1)で割ります。
先ずは、X³が消える様に、最初は、X²　① が入る。　X²(X-1) ＝ (X³-X²)
(X³＋X²Y-X²-Y) - (X³-X²) = X²Y-Y
X²Y-Y を、更に(X-1)で割って次にXY　②が入る。
(X²Y-Y) - (X²Y-XY) = XY-Y
XY-Y を、(X-1)で割って
最後に、Y　③が入る。　
(XY-Y) - (XY-Y) =0

①②③ → (X²+XY+Y)

X³＋X²Y-X²-Y = (X-1)(X²+XY+Y)