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何故写真のように式変形できるのですか?

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A 回答 (6件)

式の書き方から見て、おそらく総和公式


Σ[k=0..n-1]1 = n,
Σ[k=0..n-1]k = n(n-1)/2
を使ってるっぽいですね。
あとは Σ の線形性から、
Σ[k=0..n-1]((2/n)π + (4k/n)π)
= (2/n)π Σ[k=0..n-1]1 + (4/n)π Σ[k=0..n-1]k
= (2/n)π n + (4/n)π n(n-1)/2
= 2π + 2π(n-1)
としているのが写真の計算でしょう。

でもね、そんなもって廻ったことしなくても、
(2/n)π + (4k/n)π が等差数列なんだから
Σ[k=0..n-1]((2/n)π + (4k/n)π)
= { (初項) + (末項) }(項数)/2
= { ((2/n)π + ((2/n)π + (4k/n)(n-1)) }n/2
= 2π + 2π(n-1)
で済ませていいんんですよ?
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k=0~n-1 なのでΣはn回足すことを意味しますが


Σの中の第一項は定数でn倍されるので 2π/n×n→2π

第二頃は等差数列になるから
Σ[k=0~n-1]k=(n-1)n/2を使って
(4π/n)×(n-1)n/2=2π(n-1)
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パソコンでは、π(パイ)と n(エヌ)の区別が付き難いので、


n(エヌ) を m と書きます。
Σ{(2π/m)+(4π/m)k}=(2π/m)*m+(4π/m)Σk ですね。
Σk=(1/2)m(m-1) ですから、
(2π/m)*m+(4π/m)Σk=2π+2π(m-1)=2πm 。
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スマホアプリでは一部見づらくなってしまったので


改良版です

k以外は定数扱いなので
(2π/n)=a・・・定数
(4π/n)=b・・・定数
とおくと
左辺=Σ[k=0~n-1]a+Σ[k=0~n-1]bk
ここで公式集にあるように 1~nまでの和の形にするため
k'=k+1とおくと
kが0~n-1までの値を取るなら
k'=1~nまでの値を取るから
Σ[k=0~n-1]a
=Σ[k'=1~n]a
=an・・・公式
また、 シグマの意味は記号の下の数字から1づつ大きくな数字を
上の数字になるまで代入して+記号で結ぶという事だから
Σ[k=0~n-1]bk
=bx0+bx1+bx2+・・・b(n-1)  
[これは初項0 公差b                   項数nの等差数列の和]
=(1/2)n{0+b(n-1)}
[等差数列の和の公式を利用]
=(1/2)nb(n-1)

ゆえにa,bを戻すと
左辺=Σ[k=0~n-1]a+Σ[k=0~n-1]bk
=an+(1/2)nb(n-1)
=(2π/n)n+(1/2)n(4π/n)(n-1)
=2π+2π(n-1)
このようになりますよ
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不要かもですが、いちいち公式に当てはめられるように変形してみますと



k以外は定数扱いなので
(2π/n)=a・・・定数
(4π/n)=b・・・定数
とおくと
左辺=Σ[k=0~n-1]a+Σ[k=0~n-1]bk
ここで公式集にあるように 1~nまでの和の形にするため
k'=k+1とおくと
kが0~n-1までの値を取るなら
k'=1~nまでの値を取るから
Σ[k=0~n-1]a
=Σ[k'=1~n]a
=an・・・公式
また、 シグマの意味は記号の下の数字から1づつ大きくな数字を
上の数字になるまで代入して+記号で結ぶという事だから
Σ[k=0~n-1]bk
=bx0+bx1+bx2+・・・b(n-1) ←←←初項0 公差b 
                  項数nの等差数列の和
=(1/2)n{0+b(n-1)} ←←←等差数列の和の公式
=(1/2)nb(n-1)

ゆえにa,bを戻すと
左辺=Σ[k=0~n-1]a+Σ[k=0~n-1]bk
=an+(1/2)nb(n-1)
=(2π/n)n+(1/2)n(4π/n)(n-1)
=2π+2π(n-1)
このようになりますよ
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第1項「(2/n)π」は「k」を含まないから、単純に「定数 (2/n)π を n 回足し合わせる」だけ。


なので
 (2/n)π × n = 2π

第2項は、定数の「(4/n)π」を外に出せば、あとは「k」を 0 → n-1 で足し合させるだけなので、「0」を除けば「1 → n-1 の総和」で
 (1/2)n(n - 1)
これに定数「(4/n)π」をかければ
 2π(n - 1)

単なる
 Σ[k=1~n]k = (1/2)n(n + 1)
の公式を使うだけの話です。
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