写真の数学の質問です。 cosθ−sinθとcosθ+sinθを求めて、2つの式を足し算or引き算し

写真の数学の質問です。
cosθ−sinθとcosθ+sinθを求めて、2つの式を足し算or引き算して(ex.cosθ−sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ)
これを変形して求める方法での回答をください。(てか、この方法で解けますよね?)

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/21 17:00

cosθ-sinθ=1/2…(1)

↓両辺を2乗すると
(cosθ-sinθ)^2=1/4
(cosθ)^2+(sinθ)^2-2sinθcosθ=1/4
↓(cosθ)^2+(sinθ)^2=1だから
1-2sinθcosθ=1/4
↓両辺に2sinθcosθ-1/4を加えると
3/4=2sinθcosθ…(2)

(cosθ+sinθ)^2=(cosθ)^2+(sinθ)^2+2sinθcosθ
↓(cosθ)^2+(sinθ)^2=1だから
(cosθ+sinθ)^2=1+2sinθcosθ
↓(2)から2sinθcosθ=3/4だから
(cosθ+sinθ)^2=1+3/4=7/4
↓両辺を(1/2)乗すると
∴
cosθ+sinθ=±√7/2…(3)

(3)-(1)から

2sinθ=(-1±√7)/2
sinθ=(-1±√7)/4

0≦sinθ≦1だから
sinθ=(-1+√7)/4

このとき(1)から
cosθ-sinθ=1/2
cosθ=sinθ+1/2
cosθ=(-1+√7)/4+1/2
cosθ=(1+√7)/4

従って
tanθ
=sinθ/cosθ
=(-1+√7)/(1+√7)
=(-1+√7)^2/6
=(8-2√7)/6
=(4-√7)/3

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/21 15:05

cosθ−sinθとcosθ+sinθの値が 両方共 分かっていれば 可能です。

画像では cosθ−sinθ=1/2 は分かりますが、
cosθ+sinθ の値は 与えられていませんよね。
わざわざ それを求めるのは 効率が悪いです。
画像にあるように sin か cos の一方を 消去するのが 一般的です。
sin²θ+cos²θ=1 という 何処でも使える式があるのですから。

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/21 12:53

cosθ+sinθの値が解らずに解けるかいな。