1から6が等しい確率で出るサイコロを使ってすごろくを行う。あがりのnマス手前からぴったりあがることができる確率をp[n]とする(通り過ぎるのは不可)。nを限りなく大きくしたときp[n]はどのような値に近付くか。
という問題の解説が、
サイコロを1回ふったときに進む平均マス数は7/2なので、無限の長さの場合に特定のマスに止まる確率は2/7となる。したがって答えは2/7である。
となっていて、進むマス数の期待値が7/2となることは分かるのですが、その後の「無限の長さの場合に特定のマスに止まる確率は2/7となる」というのが、どうしてそう言えるのかよく分かりません。
どなたか解説していただけないでしょうか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
どっかで見た覚えあるけど
数行で説明できる内容じゃなかったと思う。割と難問。
確か、漸化式マジに組んで、収束を仮定して
7/2を引き出すまでは割と楽だが
収束の証明がキツかったと記憶してる。
きっと誰か見つけて書いてくれる(^_^;)
No.3
- 回答日時:
その計算はダメです。
サイコロの出目 X の期待値 E[X] = 7/2 を使って
E[1/X] = 1/E[X] としてしまっていますね?
一次関数なら E[aX+b] = aE[X}+b ですが、
一般の関数 f(X) で E[f(X)] = f(E[X]) にはなりません。
やりがちな概算ですが、期待値の二次利用には注意が必要です。
←No.2
漸化式は p[n] = (1/6)p[n-1) + (1/6)p[n-2) + (1/6)p[n-3) + (1/6)p[n-4) + (1/6)p[n-5) + (1/6)p[n-6)
になりますね。
線型漸化式ですから、特性方程式 x^6 = (1/6)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
を解くだけですが、これが解けない。
初期値を一旦忘れて、この漸化式を満たす一般の複素数列を考え、
m(n) = max{ |p[n]|, |p[n+1]|, |p[n+2]|, |p[n]+3|, |p[n]+4|, |p[n]+5| }
と置くと、漸化式から 0 ≦ m[n+1] ≦ m[n] が言えるので、
m[n] は有界であり、p[n] も無限大発散はしないことが判ります。
後は ||x| = 1 となる特性根が x = 1 以外にもあるかどうかですが...
x = e^(iθ) で置換して θ の関数のグラフを考えたら、どうにかなりませんかね?
まだ、極値が求められなくて考え中なんですが。
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