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グラフの概形を書けという問題です。
分からず困っています。
書き方を教えていただきたいです。

f(x)=x^3-x^2-x+1

A 回答 (7件)

2次関数のグラフが放物線であるように、


3次関数のグラフも知ってて当然なんだよね。
教科書に出てんだから。

3次関数には、極値がある場合とない場合があり、
いずれの場合も、変曲点を中心に点対称の
シグモイド形をしている。

lim[x→+∞] x^3-x^2-x+1 = +∞ に気づいたら、
後は変曲点と極小点の座標が判れば概形が書けね?
f’(x) = 3x^2-2x-1 = 0 ⇔ x = 1/3 ± 2/3 だから、
変曲点は x = 1/3 で、極小点は x = 1/3 + 2/3.
そのときの f(x) の値は f(x) = x^3-x^2-x+1 に代入すりゃ判る。
後は変曲点,極小点,極大点を S 字っぽい曲線で
ぬるっとつないで、点対称っぽく仕上げればok.

たったこれだけのことにPC使うなんてダセェよ。
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#5です。



#4さんの方法(微分して増減傾向や極値を調べる)は、学校で学ぶ方法で、私の方法(刻んだ値を代入して求めた値をプロットする)は実務者が行う方法です。
式があるなら、数値を代入した方が早いから。

#4さんは極値を計算しておられますので、それが分かるグラフを添付しておきます。(描画範囲を狭くしています)
「グラフの概形を書けという問題です。 分か」の回答画像6
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描きたい範囲(例えば、x=-10~10)で数値計算して線で結びます。



 x   y
-10 -1089
 -9 -800
 -8 -567
 -7 -384
 -6 -245
 -5 -144
 -4  -75
 -3  -32
 -2  -9
 -1   0
  0   1
  1   0
  2   3
  3  16
  4  45
  5  96
  6  175
  7  288
  8  441
  9  640
 10  891

添付図は、0.1刻みで計算し作図しています。
「グラフの概形を書けという問題です。 分か」の回答画像5
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f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1) = 0


を満たすのは
 x=-1/3, 1

このとき
 f''(x) = 6x - 2
なので
 f''(-1/3) = -2 - 2 = -4 < 0
よって x=-1/3 は極大点。
(接線の傾きが 正→負 に変化しているということだから)

 f''(1) = 6 - 2 = 4 > 0
よって x=1 は極小点。
(接線の傾きが 負→正 に変化しているということだから)

以上から、増減表を作れば

-∞<x<-1/3:単調増加。
x = -1/3:極大。極大値は f(-1/3) = 32/27
-1/3<x<1:単調減少。y切片は y=1
x = 1:極小。極小値は f(1) = 0
1<x<∞:単調増加。

このぐらいの情報があれば、グラフが書けるでしょう。

あとは、もう一つの x 軸との共有点が、x=1 が重根になることから
 f(x) = (x - 1)^2・(x + 1) = 0
より
 x=-1
ということも使える。
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1)f'を求める



2)f''を求める

3)極値を入れた増減表を書く

4)増減表に書かれた数字を基にグラフを描く

という流れです。
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y=f(x)=x³-x²-x+1 。


f'(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1) 。
f'(x)=0 から 極点は x=-1/3 , x=1 。

つまり x³ の係数が 正 ですから、グラフは
x=-1/3 で 極大値を取り、y 軸との交点は (0, 1) で
x=1 で 極小値を取ることになります。
極大値・極小値の値は f(-1/3), f(1) で 求めて下さい。
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それは基本通り、微分して導関数を求めましょう。

そして増減表を書き、極大・極小を調べます。
また、x軸、y軸との交点を求めましょう。x=1で0になることは暗算で分かりますね。それが2重解で、他の解はx=-1です。
それらの点をプロットして、滑らかな曲線でつなぎます。
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