2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。 「f(z)=1/(z^2-1) の

2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。

「f(z)=1/(z^2-1)
の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とすれば
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
a(n)=Res(g(z),1)
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としたのです
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}ではありません
同じ変数f(z)を使ってはいけません
f(z)=1/(z^2-1)
としたのならば
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
または
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
a(n)=Res(g(z),1)
とすべき」

なぜ、
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}に関して求めたa(n)と
f(z)=1/(z^2-1)に関して求めたa(n)は
どちらもa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}なのでしょうか？

また、res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からf(z)=1/(z^2-1)として、a(n)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcpさん、どうもありがとうございます。
  
  ちなみに、画像に関して質問があります。
  
  右辺は左辺のテイラー展開との事ですが、これは右辺の指数が正だからでしょうか？
  というのも、テイラー展開は指数が正の値のみ使えるためです。
  
  指数が正の範囲での近似式はすべてテイラー展開と言われるのでしょうか？
  それとも、右辺はテイラー展開の公式と一致するとかでしょうか？仮に一致するならば右辺とテイラー展開の公式が一致する事を説明してほしいです！
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/10 00:25

• なるほど、ありがとうます。
  テイラー展開はf(z)=Σ{m=∞〜0}(1/m!)f^(m)(π/2)(z-π/2)^mであるため、
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の右辺とテイラーの公式を見比べると
  
  a(n)が(1/m!)f^(m)(π/2)にあたり、(z-π/2)^(n+1)が(z-π/2)^mにあたると考えると、テイラー展開と言えるかもしれません。
  
  ちなみに、載せた画像よりa(n)を(1/m!)f^(m)(a)置いたとして画像の式の右辺は(1/m!)f^(m)(a)ではないですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の式の右辺と=で結べると思うのですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の右辺を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 05:16

• また、画像において、最終的には
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)とg(z)=(z-π/2)tan(z)のどちらも出来るが、a(n)に置ける積分ができない為、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではなく、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)としたと解答を頂いたのですが、
  
  なぜ、そこからg(z)=(z-π/2)tan(z)において、
  「tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
  ↓両辺に(z-π/2)をかけると
  ...
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)」
  のように(z-π/2)tan(z)のテイラー展開を導く必要があるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 20:01

• ちなみに、n≦-2の時はa(n)=0ですが、
  そうならば、
  a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式はn≦-2の時0になると思うのですが、n≦-2の時はtan(z)/(z-π/2)^(n+1)の部分が収束するため、0になるのでしょうか？
  
  出来れば、n≦-2の時にa(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が0になるまでの過程の計算を教えてほしいです。

    補足日時：2022/08/11 09:46

• ありがとうございます。
  
  あの、復習していて疑問点があります。
  
  赤い下線部のg(z)は1/(z^2-1)で正しいでしょうか？
  
  また、
  青い下線部の式はb(k)と置いていますが、bをa、kをnに置き換えてa(n)としても問題ないと思うのですが、正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/12 08:33

• ありがとうございます。
  あの、以前の解答にz=1で1位の極と書いてあるのですが、正しくはz=1でn+2位の極で良いのでしょうか？
  
  
  z=-1で1位の極を持つのは、
  1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)の(z+1)はz=-1で極を持ち、(z+1)の指数が1(=k)であるため、
  z=-1で1位の極を持つとわかりました。
  
  出来れば、
  Res(g(z),-1)
  =lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
  =1/(-2)^(n+2)について、
  Res(g(z),-1)
  から
  =1/(-2)^(n+2)を導くまでを
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/12 21:56

• 以前に頂いた解答について、画像のようなa(n)の式を見つけたのですが、この式の右辺を使ってもa(n)が求まるのでしょうか？
  
  例えば
  「f(z)=1/(z^2-1)
  r>2
  C={z||z-1|=r}
  n≦-2の時
  |z-1|<r
  g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)」
  の時、画像の右辺のlim{z→1}(z-1)g(z)から
  1/(-2)^(n+2)を導けるならば、導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/13 06:44

No.25 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/12 10:04

ii)

f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z;|z-1|=r}
でのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
となる

g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
∫_{C}g(z)dz=(2πi)Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

b(k)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
となる
k=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
(留数の定義)から
Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
だから
b(-1)=Res(g(z),-1)
だから
a(n)=Res(g(z),-1)=b(-1)
だから
a(n)=b(-1)

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)
↓両辺に(z+1)をかけると
(z+1)g(z)=b(-1)+(z+1)g1(z)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)
↓a(n)=b(-1)だから
a(n)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
↓g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)だから

a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
∴
n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

この回答へのお礼

私の考えは間違っていました。
画像は正しいとわかりました。
画像の解答を更にわかりやすく説明した解答を下さりありがとうございます。

お礼日時：2022/08/12 17:59

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/12 09:52

ii)

f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z;|z-1|=r}
でのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
となる

g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

g(z)のz=-1の周りでのローラン展開は

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k

b(k)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}{g(z)/(z+1)^(k+1)}dz
となる
k=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
(留数の定義)から
Res(g(z),-1)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz
だから
b(-1)=Res(g(z),-1)
だから
a(n)=Res(g(z),-1)=b(-1)
だから
a(n)=b(-1)

g(z)=Σ_{k=-1～∞}b(k)(z+1)^k
↓g1(z)=Σ_{k=0～∞}b(k)(z+1)^kとすると
g(z)=b(-1)/(z+1)+g1(z)
↓両辺に(z+1)をかけると
(z+1)g(z)=b(-1)+(z+1)g1(z)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z+1)g(z)=b(-1)
↓a(n)=b(-1)だから
a(n)=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
↓g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)だから

a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
∴
n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

この回答へのお礼

ちなみにn≦-2の場合は　a(n)=0で正しいでしょうか？
また、
n≧-1の時のg(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)の場合については「」みたいに書くならば、
n≧-1とg(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)を使って

n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)となり、
|z-1|<rでz=1でn+2位の極を持つで正しいでしょうか？


「n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つ」
について、なぜ0≦-n-2の時は
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)の形となる理由については、
|z-1|<rの場合であり、0≦-n-2より-n-2は0以上でありため分母にはならず、分母に残った(z+1) よりz=-1の時に1位の極を持つのはわかります。

お礼日時：2022/08/12 18:55

No.23 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/12 06:26

＞ そうならば、

＞ a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
＞ の式はn≦-2の時0になると思うのですが、

ならんでしょ。
n≦-2 のときは (d/dz)^(n+1) がマイナス回の微分になってしまう。
それを強引に積分と解釈するにしても、積分路が式に書かれてないから
不定積分と解釈せざるを得ず、lim[z->a] の値が不定になってしまう。
この式が n≦-2 のとき使えない式であることは、ひとめ見れば明らか。

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 09:59

tan(z)の

0<|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-π/2)^(m+1)
z→π/2とすると左辺は-1に収束するから右辺も収束するから
-------------------------
n≦-2の時 a(n)=0
----------------------
だから
(z-π/2)tan(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-π/2)^(m+1)
----------------
↓n≦-2の時は(n+1)≦-1回微分はできません
----------------
↓n≧-1の時、両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
n≦-2の時
a(n)=0

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 09:49

1/{tanθ/(z-1)^(n+1)}ではありません

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)です

n≧-1の時の
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
の
{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}
は
収束しません発散します

この回答へのお礼

書き間違えてしまい申し訳ありません。tan(z)/(z-π/2)^(n+1)です。

お礼日時：2022/08/11 09:51

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 09:46

tanθではありません

tanzです
z-1ではありません
z-π/2です

n≧-1の時の
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
の
1/{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}
は
収束しません発散します

この回答へのお礼

すいません。書き間違えました。
訂正してくださりありがとうございます。

お礼日時：2022/08/11 09:48

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 09:42

(z-1)ではありません

(z-π/2)です

n≧-1の時の
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{tanθ/(z-π/2)^(n+1)}dz
の
1/{tanθ/(z-π/2)^(n+1)}
は
収束しません発散します

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 09:16

積分は使わないので積分は関係ありません

積分しないので
a(n)=0
にはなりません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに

res(tanθ/(z-1)^(n+1),a)=1/(n+1)!lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-a)^(n+2) tanθ/(z-1)^(n+1)に積分は含まれていない為a(n)=0にはならないですね。

ですが、n≧-1の時の
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{tanθ/(z-1)^(n+1)}dz
からa(n)を求める場合は積分が式に含まれますが、なぜ収束するtanθ/(z-1)^(n+1)を積分するのにコーシーの積分定数によりa(n)は0にならないのでしょうか？

お礼日時：2022/08/11 09:31

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 08:57

tan(z)の

0<|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-π/2)^(m+1)
z→π/2とすると左辺は-1に収束するから右辺も収束するから
m≦-2の時 a(m)=0
だから
(z-π/2)tan(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-π/2)^(m+1)
(右辺は左辺のテイラー展開になっているのです)
↓n≧-1の時、両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

この回答へのお礼

なるほど。a(n)を求める過程でテイラー展開の式が出てきたのだとわかりました。
ちなみにa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の(z-π/2)tan(z)は収束しますが、収束する場合は積分できるためコーシーの積分定理が使える為、a(n)=0となると思ったのですが、なぜa(n)=0とならないのでしょうか？

お礼日時：2022/08/11 09:03

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/11 03:53

(z-π/2)tan(z)

=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)…(1)
=Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^(n)…(2)

(1)=(2)
(1)と(2)は全く同じ式です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、補足で質問した「また、画像において、最終的には...」に関して(z-π/2)tan(z)のテイラー展開を導く必要性や理由を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2022/08/11 08:13