2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。 「f(z)=1/(z^2-1) の

2022.8.5 05:49に頂いた解答について質問があります。

「f(z)=1/(z^2-1)
の
0<r<2
C={z||z-1|=r}
でのローラン展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}dz
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とすれば
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
a(n)=Res(g(z),1)
となるから
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}としたのです
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}ではありません
同じ変数f(z)を使ってはいけません
f(z)=1/(z^2-1)
としたのならば
a(n)=Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
または
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
a(n)=Res(g(z),1)
とすべき」

なぜ、
g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}に関して求めたa(n)と
f(z)=1/(z^2-1)に関して求めたa(n)は
どちらもa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}なのでしょうか？

また、res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からf(z)=1/(z^2-1)として、a(n)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcpさん、どうもありがとうございます。
  
  ちなみに、画像に関して質問があります。
  
  右辺は左辺のテイラー展開との事ですが、これは右辺の指数が正だからでしょうか？
  というのも、テイラー展開は指数が正の値のみ使えるためです。
  
  指数が正の範囲での近似式はすべてテイラー展開と言われるのでしょうか？
  それとも、右辺はテイラー展開の公式と一致するとかでしょうか？仮に一致するならば右辺とテイラー展開の公式が一致する事を説明してほしいです！
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/10 00:25

• なるほど、ありがとうます。
  テイラー展開はf(z)=Σ{m=∞〜0}(1/m!)f^(m)(π/2)(z-π/2)^mであるため、
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の右辺とテイラーの公式を見比べると
  
  a(n)が(1/m!)f^(m)(π/2)にあたり、(z-π/2)^(n+1)が(z-π/2)^mにあたると考えると、テイラー展開と言えるかもしれません。
  
  ちなみに、載せた画像よりa(n)を(1/m!)f^(m)(a)置いたとして画像の式の右辺は(1/m!)f^(m)(a)ではないですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の式の右辺と=で結べると思うのですが、(1/m!)f^(m)(a)から画像の右辺を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 05:16

• また、画像において、最終的には
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)とg(z)=(z-π/2)tan(z)のどちらも出来るが、a(n)に置ける積分ができない為、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではなく、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)としたと解答を頂いたのですが、
  
  なぜ、そこからg(z)=(z-π/2)tan(z)において、
  「tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
  ↓両辺に(z-π/2)をかけると
  ...
  
  (z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)」
  のように(z-π/2)tan(z)のテイラー展開を導く必要があるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/10 20:01

• ちなみに、n≦-2の時はa(n)=0ですが、
  そうならば、
  a(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式はn≦-2の時0になると思うのですが、n≦-2の時はtan(z)/(z-π/2)^(n+1)の部分が収束するため、0になるのでしょうか？
  
  出来れば、n≦-2の時にa(n)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が0になるまでの過程の計算を教えてほしいです。

    補足日時：2022/08/11 09:46

• ありがとうございます。
  
  あの、復習していて疑問点があります。
  
  赤い下線部のg(z)は1/(z^2-1)で正しいでしょうか？
  
  また、
  青い下線部の式はb(k)と置いていますが、bをa、kをnに置き換えてa(n)としても問題ないと思うのですが、正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/12 08:33

• ありがとうございます。
  あの、以前の解答にz=1で1位の極と書いてあるのですが、正しくはz=1でn+2位の極で良いのでしょうか？
  
  
  z=-1で1位の極を持つのは、
  1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)の(z+1)はz=-1で極を持ち、(z+1)の指数が1(=k)であるため、
  z=-1で1位の極を持つとわかりました。
  
  出来れば、
  Res(g(z),-1)
  =lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
  =1/(-2)^(n+2)について、
  Res(g(z),-1)
  から
  =1/(-2)^(n+2)を導くまでを
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2022/08/12 21:56

• 以前に頂いた解答について、画像のようなa(n)の式を見つけたのですが、この式の右辺を使ってもa(n)が求まるのでしょうか？
  
  例えば
  「f(z)=1/(z^2-1)
  r>2
  C={z||z-1|=r}
  n≦-2の時
  |z-1|<r
  g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)」
  の時、画像の右辺のlim{z→1}(z-1)g(z)から
  1/(-2)^(n+2)を導けるならば、導くまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/13 06:44

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/10 11:15

g(π/2)=-1

0<|z-π/2|<πの時
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とすると
g(z)は|z-π/2|<πで正則

g(z)=Σ_{m=0～∞}a(m-1)(z-π/2)^m…(1)
↓両辺をm回微分すると
g^(m)(z)=m!a(m-1)+…
↓z→π/2とすると
g^(m)(π/2)=m!a(m-1)
↓両辺をm!で割ると
(1/m!)g^(m)(π/2)=a(m-1)
↓これを(1)に代入すると
g(z)=(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^m

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「z→π/2とすると左辺は収束するから
右辺も収束するから
右辺の指数(n+1)が負の項=0
n≦-2の時a(n)=0 でなければならないから

(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
と
なって
右辺は左辺のテイラー展開になるのです

なおローラン展開の指数負の項が無いものをテイラー展開といいます」
に関して、Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1) ではnに負の値が入る為、nを+1してから Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^nと導いてから頂いた画像の様に計算してg(z)= Σ_{n=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^mと導いたとわかったのですが、
だとしたら負の指数を扱う(z-π/2)tan(z) =Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の右辺はテイラー展開ではなく、
nを+1した(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^(n)の右辺が負の指数を扱わない為テイラー展開だと思うのですが、それともnが負の値であってもΣ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の(n+1)によって指数は0になるためΣ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)でもテイラー展開と呼べるわけでしょうか？

お礼日時：2022/08/10 19:38

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/10 08:06

＞ なぜn=-1の入ったΣ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)を

＞ テイラー展開と呼ぶのでしょうか？

e^x = Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n だって、n=0 の項は x が 0 次でしょう？
テイラー展開の各項の次数は、正じゃなく、0以上です。
さすがにここまで解ってないなら、高校の教科書くらいからやりなおさないと、
いきなりローラン展開は早すぎるのではないかと思います。

それとも、Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1) を
Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^n と書き直したら、納得できるのかな？
はて。

この回答へのお礼

テイラー展開はn(指数)が正の値のみを扱うと思っていましたが、それは間違っており、負の項以外の0や正の項を扱うのがテイラー展開だとわかりました。


>> それとも、Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1) を
Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^n と書き直したら、納得できるのかな？

Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-π/2)^nはΣ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)のnの項を+1しただけの式ですが、何を表しているのでしょうか？

お礼日時：2022/08/10 19:09

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/10 04:03

f(z)=tan(z)

の
0<|z-π/2|<π
での
ローラン展開は
tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

z→π/2とすると左辺は収束するから
右辺も収束するから
右辺の指数(n+1)が負の項=0
n≦-2の時a(n)=0 でなければならないから

(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
と
なって
右辺は左辺のテイラー展開になるのです

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…
だから
a(-1)の項の(z-π/2)の指数は0だから指数は正ではありません

なおローラン展開の指数負の項が無いものをテイラー展開といいます

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
と
なって
右辺は左辺のテイラー展開になるのです

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…
だから
a(-1)の項の(z-π/2)の指数は0だから指数は正ではありません」に置いて、a(-1)の項の(z-π/2)の指数は0だから指数は正でないのに、
なぜn=-1の入ったΣ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)をテイラー展開と呼ぶのでしょうか？
指数が正になるようなΣ_{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)が正しいテイラー展開なのではないかと考えています。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/10 05:17

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/09 19:31

f(z)=1/(z^2-1)

の
0<|z-1|<2
での
ローラン展開は
1/(z^2-1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-∞～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓左辺はz→1の時収束するから右辺も収束するから
m≦-2の時a(m)=0
だから
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓n≧-1の時、両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

n=-1の時
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=1/(z+1)=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
ある整数n≧-1に対して
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
と仮定し両辺を微分すると
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(-1)^(n+2)(n+2)/(z+1)^(n+3)
↓両辺を(n+2)で割ると
{1/(n+2)!}(d/dz)^(n+2){1/(z+1)}=(-1)^(n+2)/(z+1)^(n+3)
だから
全ての整数n≧-1に対して
{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
が成り立つ
↓z→1とすると

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=-1/(-2)^(n+2)

∴n≧-1の時

a(n)=-1/(-2)^(n+2)

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/09 13:58

←No.9 補足

＞ どちらが正しいのでしょうか？

どちらも間違い。
何ですか、
＞ 1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)はn+2位
って？
そもそも (1/(n+2-1)!) lim[z→a] (d/dz)^(n+2-1) (z-a)^(n+2) は
関数ではなく定数ですから、n+2 位以前に極なんて持たないでしょう？
前から繰り返し言っているように、あなたは言葉を省略しすぎた結果
何を言っているのかが無茶苦茶になっているのです。

公式を確認しましょう。
f(z) が z=a に k位の極を持つとき、
Res[f(z),a] = (1/(k-1)!) lim[z→a] (d/dz)^(k-1) { (z-a)^k f(z) }
です。
k位なのは f(z) が z=a に持つ極であって、右辺ではありません。

この公式を g(z) = 1/{ (z^2-1) (z-1)^(n+1) } に適用するなら、
g(z) が z=1 に n+2 位の極を持つため
Res[g(z),1] = (1/(n+2-1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+2-1) { (z-1)^(n+2) g(z) }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { (z-1)^(n+2) 1/{ (z^2-1) (z-1)^(n+1) } }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { 1/(z+1) }
です。

＞ また、res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から
＞ f(z)=1/(z^2-1)として、a(n)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

Res[f(z),a]=... から f(z) としたのでは、a(-1) しか求めることはできません。
それ以外の a(n) を求めるには、No.6 に書いたように
a(n) = Lourent[f(z),a,n]
　　= Lourent[f(z)/(z-a)^(n+1),a,-1]
　　= Res[f(z)/(z-a)^(n+1),1]
を使っているのです。留数の公式は、Res[f(z),a] ではなく
Res[f(z)/(z-a)^(n+1),a] に対して使うことになります。

Res[f(z),a] と Res[g(z),a] をゴッチャにするから、
話が解らなくなるんですよ。

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 20:02

f(z)/(z-1)^(n+1)がz=aでn+2位の極を持つから

res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)
=
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)
が
成り立つのです

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 19:48

P(n)

=[
f(z)がz=aでn位の極を持つ
→
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
]
の中にあるすべてのnをn+2に置き換え
f(z)をf(z)/(z-1)^(n+1)に置き換えると

P(n+2)
=
[
f(z)/(z-1)^(n+1)がz=aでn+2位の極を持つ
→
res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)
=
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)
]
となるから
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)
は
n+2
位

この回答へのお礼

ありがとうございます。

1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)はn+2位とは、

1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)のf(z)/(z-1)^(n+1)がn+2位の極を持つため
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)はn+2位と言う事でしょうか？...①

多分、1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)がn+2位で極を持つため、
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)と出来ると思うのですが、だとしたらn≦-3の時に
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)はn+2位の極を持つ...②と思ったのですが、①と②のどちらが正しいのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/08 19:57

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 16:44

1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)/(z-1)^(n+1)

の
「
1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n
」
の部分はn位を意味するので間違い

1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)
「
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)
」
の部分はn+2位を意味するので正しい

P(n)
=[
f(z)がz=aでn位の極を持つ→res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
]
が
真だから

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
の
すべての
n
は
n
位の極をもつという意味なのです

だから
nをn+2に置き換える場合は

P(n)
=[
f(z)がz=aでn位の極を持つ→res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
]
の
中にあるすべてのnをn+2に置き換えなくてはいけません
f(z)をf(z)/(z-1)^(n+1)に置き換えなくてはいけません
P(n)=…
の
中にあるすべてのnをn+2に置き換え
f(z)をf(z)/(z-1)^(n+1)に置き換えると

P(n+2)
=
[
f(z)/(z-1)^(n+1)がz=aでn+2位の極を持つ
→
res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)
]
となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの
1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)はなぜ
n+2位なのでしょうか？

お礼日時：2022/08/08 19:31

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/08 13:38

この質問者は、以前から執拗に

この件の質問を繰り返しているけれど、
毎回 f(z) とか a(n) とか k とかの記号を
複数のローラン展開の間で使いまわして、
どれがどれだか混乱している。
それを複数の回答者から指摘されているが、
改善する傾向が見られない。

さて、今回の混乱を説明するには、
「関数 f(z) の z=c を中心とするローラン展開
の m 次項の係数」を表す記号が必要かな。
それを Lourent[f(z),c,m] と書こう。
m = -1 の場合は Res[f(z),c] = Lourent[f(z),c,-1] だが、
m ≠ -1 の場合を表す記号が必要だ。

質問での a(n) の定義は、どうやら
a(n) = Lourent[1/(z^2-1),1,n] であるらしい。
質問者が理解できないでいる誰かの回答は、
Lourent[1/(z^2-1),1,n] = Lourent[1/((z^2-1)(z-1)^(n+1),1,-1]
であることを利用して留数の公式から a(n) を求めている。
上記の式から、結局
a(n) = Res[1/((z^2-1)(z-1)^(n+1),1] となるので、
一般の Lourent[1/(z^2-1),1,n] には使えなかった
Res[,] の公式が使えるようになる。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/08 13:10

n≠n+2だから

f(z)/(z-1)^(n+1)はz=aでnではなくn+2位の極を持つのだから
res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)/(z-1)^(n+1)
は
間違いです
左辺はn+2位右辺n位同じになるはずはないのです

res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n+1)!lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-1)^(n+2) f(z)/(z-1)^(n+1)
とならなければなりません

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)を使ってa(n)を求めることはできません

res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)/(z-1)^(n+1)
は
間違いです
res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n+1)!lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-1)^(n+2) f(z)/(z-1)^(n+1)
とならなければなりません

P(n)=[f(z)がz=aでn位の極を持つ→res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)]
の
中にあるすべてのnをn+2に置き換えなくてはいけません
f(z)をf(z)/(z-1)^(n+1)に置き換えなくてはいけません

P(n+2)
=
[f(z)/(z-1)^(n+1)がz=aでn+2位の極を持つ
→res(f(z)/(z-1)^(n+1),a)=1/(n+2-1)!lim[z->a](d/dz)^(n+2-1)(z-a)^(n+2)f(z)/(z-1)^(n+1)]

この回答へのお礼

ありがとうございます。

1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)/(z-1)^(n+1)はn位との事ですが、
どの部分でn位とわかったのでしょうか？

逆に1/(n+1)!lim[z->1](d/dz)^(n+1)(z-1)^(n+2) f(z)(z-1)^(n+1)はどの部分でn+2位とわかったのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/08 14:26