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A 回答 (5件)
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No.3
- 回答日時:
> Hの元x,yに対してxy^(-1)がHの元
正確に
H⊂G ∧ H≠∅ ∧ ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ x(y^(-1))∈H…(i)
と書いてみるとわかりやすいかも。
> 示せると思いますが
とか言ってないで、証明すればいいんです。
群Gの単位元をIとしましょう。すると(i)が成り立っているとき、以下の(1)〜(3)が言えるでしょ:
(1) H≠∅だから、Hの要素aを考えれば
I∈H
(2) (1)より
∀y(y∈H ⇒ y^(-1)∈H)
(3) (2)より
∀y(y∈H ⇒ ∃z(z∈H ∧ y=z^(-1))
だから、
∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ xy∈H)
行間はご自分で埋めてくださいな。
No.2
- 回答日時:
#1 にもあるけど, 「Hの元x,yに対して」というのはきちんと書くと「H の任意の元 x, y に対して」だよね?
そして, そのような意味であるとするなら「H の任意の元 x, y に対して xy^(-1) ∈ H」であるときには「任意の y ∈ H に対して y^(-1) ∈ H である」といえる. つまり「自動的に成り立ってしまうので示さなくてもよい」んだ... けど, 気になるなら確認してみたら?
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