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部分群であることを示す問題を解いているときに疑問に思ったので質問です。

Gを乗法群、Hを空でないGの部分集合とします。
このときHの元x,yに対してxy^(-1)がHの元であればHが部分群であることを示せると思いますが、yの逆元がHの元として存在することは示さなくてよいのですか?

質問者からの補足コメント

  • 例えばこの問題なら、このような解答でOKですか?添削希望です。部分群であることの同値関係は証明なしに用いています。

    「部分群であることを示す問題を解いていると」の補足画像1
      補足日時:2022/11/27 22:59

A 回答 (5件)

A=0のとき任意の元Bに対して-BがHの元であることを示している

「部分群であることを示す問題を解いていると」の回答画像5
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xy^(-1)のy^(-1)はここではGの元ですよ!

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> Hの元x,yに対してxy^(-1)がHの元



正確に
  H⊂G ∧ H≠∅ ∧ ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ x(y^(-1))∈H…(i)
と書いてみるとわかりやすいかも。

> 示せると思いますが

とか言ってないで、証明すればいいんです。

 群Gの単位元をIとしましょう。すると(i)が成り立っているとき、以下の(1)〜(3)が言えるでしょ:

(1) H≠∅だから、Hの要素aを考えれば
   I∈H
(2) (1)より
  ∀y(y∈H ⇒ y^(-1)∈H)
(3) (2)より
  ∀y(y∈H ⇒ ∃z(z∈H ∧ y=z^(-1))
だから、
  ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ xy∈H)

行間はご自分で埋めてくださいな。
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この回答へのお礼

補足見ていただけたら幸いです!

お礼日時:2022/11/27 23:43

#1 にもあるけど, 「Hの元x,yに対して」というのはきちんと書くと「H の任意の元 x, y に対して」だよね?



そして, そのような意味であるとするなら「H の任意の元 x, y に対して xy^(-1) ∈ H」であるときには「任意の y ∈ H に対して y^(-1) ∈ H である」といえる. つまり「自動的に成り立ってしまうので示さなくてもよい」んだ... けど, 気になるなら確認してみたら?
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Hの任意の元x,yに対してxy^(-1)がHの元であればHが部分群であるから



x=1のとき

Hの任意の元y,1に対してy^(-1)がHの元であると示している

Hの全ての元x,y に対してxy^(-1)がHの元である事を示す必要がある
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この回答へのお礼

補足見ていただけると幸いです!

お礼日時:2022/11/27 23:43

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