広義積分

あっているか確認して頂きたいです。


∮∮D 1/{(1 + x^2 + y^2)^4} dxdy　D={(x, y) | x ≧ 0, y ≧ 0}

という広義積分を計算してみました。

積分範囲を0 ≦ θ ≦ 2π, 0 ≦ r ≦ nとして極座標変換を行い、

∮[0,π/2]∮[0,n] 1/{(1 + r^2)^4} drdθ

として計算し、π/12となりました。


特に積分範囲をこうしてよかったのか心配なのですがこれで良いでしょうか。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/07 20:05

∬[0≦x,0≦y]{ 1/(1 + x^2 + y^2)^4 }dxdy　；x=r cosθ, y=r sinθ と置いて

= ∬[0≦r,0≦θ≦π/2]{ 1/(1 + x^2 + y^2)^4 } ｜det(∂(x,y)/∂(r,θ)｜ drdθ
= ∬[0≦r,0≦θ≦π/2]{ 1/(1 + ｒ^2)^4 } |ｒ| drdθ
= ∫[0≦θ≦π/2] ∫[0≦θ<∞]{ r/(1 + ｒ^2)^4 }dr dθ
= { ∫[0,π/2] dθ }{ ∫[0,∞]{ r/(1 + ｒ^2)^4 }dr }　；r^2=u と置いて
= { π/2 - 0 }{ ∫[0,∞]{ (1/2)/(1 + u)^4 }du }
= (π/2)(1/2){ lim[u→∞](-1/3)/(1 + u)^3 - (-1/3)/(1 + 0)^3 }
= π/12
だよねえ。

∫[0,π/2]∫[0,∞] 1/{(1 + r^2)^4} drdθ は
= π/12 にはならないねえ...

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/07 16:35

ホントにご質問にお書きの式を計算したのなら 5(π^2)/64 になると思うが。

あと、∮ じゃなくて ∫ 。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/07 13:03

ヤコビアン J=r が必要なので

　∫[0,π/2]∫[0,n] r/{(1 + r^2)^4} drdθ=π/12