写真の問題について解説の赤線部分がよくわからないのですが、なぜ、X²+Y²=r²が4X+3Y=6と接

写真の問題について解説の赤線部分がよくわからないのですが、なぜ、X²+Y²=r²が4X+3Y=6と接するとき、r²の最小値になるのですか？

質問者からの補足コメント

• 問題の解説の写真です

  
    補足日時：2023/01/09 19:03

• お礼の続き、
  接する？と言えばいいのか、なぜ、最小値は2つのグラフを満たす点なのですか？

    補足日時：2023/01/09 21:01

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/09 20:30

実数x,yが

2^(x+2)+3^(y+1)=6
を満たしているとする
2^x=X
3^y=Y
とすると
4X+3Y=6
だから

点(X,Y)は
直線
4X+3Y=6
のX>0かつY>0の部分を動く

4^x+9^y=X^2+Y^2
は
原点(0,0)と直線4X+3Y=6上の点(X,Y)との距離の2乗だから
それが
最小となる点(X,Y)は
原点(0,0)
から
直線4X+3Y=6への垂直点
となる

この回答へのお礼

なぜ、X^2+Y^2=r²は
原点(0,0)と直線4X+3Y=6上の点(X,Y)との距離の2乗と言えるのですか？

2つのグラフ？軌跡同士は接していなきゃダメなのですか？

お礼日時：2023/01/09 21:00

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/09 21:32

点(X,Y)は

直線
4X+3Y=6
のX>0かつY>0の部分を動くから
(X,Y)
は
直線4X+3Y=6上の点でなければならない

(X,Y)
と
(0,0)
の
距離は
√{(X-0)^2+(Y-0)^2}
=√(X^2+Y^2)
だから
その2乗は
X^2+Y^2
と
言える

X^2+Y^2の値は一定ではないから

X^2+Y^2=r^2は変化する

(X,Y)
は
直線4X+3Y=6上の点でなければならないから

(X,Y)
は
4X+3Y=6
と
X^2+Y^2=r^2
の
交点でなければならない