既約元であることの証明

k[x,y]/(y^2-x^3)(以下＝Sと置く) においてxは既約元であることを示せ。

この問題がわかりません。
x=a・b (a,b∈S)と分解できたとして、矛盾を導きたいのですが…
どなたかわかる方教えてください。


※(y^2-x^3)はイデアルです。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/16 20:51

x=fg

(f)∈S=k[x,y]/(y^2-x^3)
(g)∈S=k[x,y]/(y^2-x^3)
とすると
f=a(1,2)yx^2+a(2,0)x^2+a(1,1)xy+a(1,0)x+a(0,1)y+a(0,0)
の
xに関する次数をm≧0
yに関する次数をn≧0
とする

g=b(1,2)yx^2+b(2,0)x^2+b(1,1)xy+b(1,0)x+b(0,1)y+b(0,0)
の
xに関する次数をj≧0
yに関する次数をk≧0
とする

fg=x
の
xに関する次数はm+j=1
yに関する次数はn+k=0
だから
(m=1,j=0)または(m=0,j=1)
n=k=0
だから

m=1のとき
j=n=k=0だから
f=a(1,0)x+a(0,0)
g=b(0,0)
fg=b(0,0)a(1,0)x+b(0,0)a(0,0)=x
b(0,0)a(1,0)=1
b(0,0)a(0,0)=0
a(0,0)=0
f=a(1,0)x
g=1/a(1,0)
だから
gは単元

j=1のとき
m=n=k=0だから
f=a(0,0)
g=b(1,0)x+b(0,0)
fg=a(0,0)b(1,0)x+a(0,0)b(0,0)=x
a(0,0)b(1,0)=1
a(0,0)b(0,0)=0
b(0,0)=0
g=b(1,0)x
f=1/b(1,0)
だから
fは単元

∴
xは既約元である