A君とB君はコインを1枚ずつ投げ、2枚とも表、あるいは2枚とも裏が出れば、投げた2枚をA君がもらい、

A君とB君はコインを1枚ずつ投げ、2枚とも表、あるいは2枚とも裏が出れば、投げた2枚をA君がもらい、そうでなければ、投げた2枚をB君がもらうというゲームを一方が破産するまで続ける。
最初にA君が1枚、B君が2枚のコインを持っているとき、A君のほうが破産する確率を求めよ。


解答
n回以内で, A, B君が破産する確率をそれぞれ Pn, Qn とおき, 1回目の2枚をどちらがもらうかで場合を分けて Pn+1 を表すと,

Pn+1=qn/2+1/2

(右辺の第1項はA君がもらう場合で、この とき2人の立場が逆転することに注意)

この漸化式の意味がよくわかりません。何方か解説お願い致します。

質問者からの補足コメント

• Pn+1=Qn/2+1/2
  
  です。

    補足日時：2023/02/05 12:20

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/05 21:14

n 回終わったときに A が 1 枚 B が 2 枚コインを持っている確率を A(n)、

A が 2 枚 B が 1 枚コインを持っている確率を B(n) と置く。
A(0) = 1, B(0) = 0,
A(n+1) = B(n)・1/2,
B(n+1) = A(n)・1/2,
P(n) = Σ[k=1..n] A(k-1)・1/2,
Q(n) = Σ[k=1..n] B(k-1)・1/2.
等比数列とその和だから、
A(n), B(n), P(n), Q(n) を n の式で書いてしまうのも容易だが...

質問の式を示すだけなら
P(n+1) = Σ[k=1..n+1] A(k-1)・1/2
　　　= Σ[k=0..n] A(k)・1/2
　　　= A(0)・1/2 + Σ[k=1..n] A(k)・1/2
　　　= 1・1/2 + Σ[k=1..n] ( B(k-1)・1/2 )・1/2
　　　= 1/2 + (1/2) Σ[k=1..n] B(k-1)・1/2
　　　= 1/2 + (1/2) Q(n).
でもいい。

この回答へのお礼

非常に分かりやすかったです。
ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2023/02/05 21:32

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/05 13:01

ふかくは考えていない.

「一方が破産するまで続ける」のだから, 続いている間は「A と B の一方が 1枚, 他方が 2枚のコインを持っている」という状況だ. だから, 例えば
n回終わったときに A が 1枚のコインを持っている確率を An
とでもおいてこの An に対する漸化式を考えてみればいいんでないかな.

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/05 13:01

ABの所持コイン数を並べて書いて

初期状態は12とすると
1回目は
12→03、21 なので、P1=1/2、Q1=0
2回目は
21→30、12 なので、P2=1/2、Q2=1/4
3回目は
12→03、21 なので、P3=1/2+1/8、Q3=1/4
4回目は
21→30、12 なので、P4=1/2+1/8、Q4=1/4+1/16
5回目は
12→03、21 なので、P4=1/2+1/8+1/32、Q3=1/4+1/16
6回目は
21→30、12 なので、P4=1/2+1/8+1/32、Q4=1/4+1/16+1/64

もう一般化は容易だけど
確かにそうなるね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
小さい値で傾向を調べて漸化式を求めるのではなく、値がnのときのPnとQnの関係から漸化式を求めることはできますでしょうか。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2023/02/05 20:47