代数の問題がわからないので教えていただきたいです。 Gを位数51の群とする。 (1)Gは巡回群になる

代数の問題がわからないので教えていただきたいです。
Gを位数51の群とする。
(1)Gは巡回群になるか？
(2)Tを群、G_2を位数30の群としてG×G_2とT×G2が同型であると仮定する。このときGとTは同型になるか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/09 10:19

(2)

同型である。
直積群の位数は位数の積だから、T の位数は G と同じ 51。
位数 51 の群は、 (1) で Z/51Z と同型だと示されている。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/09 09:58

(1)

問題の群を G としよう。
位数の素因数分解が 51 = 3×17 だから、
シローの定理より、 G は位数 3^1 の部分群を持ち、
その部分群の個数 k は 17 の約数かつ k ≡ 1 (mod 3) である。
そのような k は k = 1 しかない。
またシローの定理より、G のシロー 3-部分群 P の正規化群を N とすると
|G:N| = k = 1 となるから、N = G すなわち P は正規部分群である。
よって商群 G/P を考えることができ、G は直積群 G = P×(G/P) となる。
P の位数は 3、G/P の位数は 17 で共に素数であるから、
これらは巡回群 P 〜 Z/3Z, G/P 〜 Z/17Z である。
よって G 〜 (Z/3Z)×(Z/17Z) 〜 Z/51Z である。