問題
nが4以上の自然数のとき、次の不等式を証明せよ。
2^n > 3n  ・・・(1)


解答
(I)n=4のとき
  左辺=2^4
=16
  
  右辺=3×4
    =12
  よって(1)が成り立つ。


(II)k≧4として、n=kのとき、(1)が成り立つと仮定すると、
  2^k > 3k

n=k+1のときの(1)の左辺は、
2^k+1=2×2^k>2×3k=6k  ・・・(2)
また、6k-3(k+1)=3k-3=3(k-1)>0より、
6k>3(k+1)  ・・・(3)
(2)(3)より、2^k+1 > 3(k+1)
よって、n=k+1のときも(1)が成り立つ。

(I)(II)より(1)は4以上のすべての自然数nについて成り立つ。

と教科書に書いてありました。

(II)はn=kのとき成り立つとして、次のn=k+1を考えますよね。
と言うことは最終的に2^k+1 > 3(k+1)と示すことができればいいのでよね。
そこにもって行きかたがわかりません。

n=k+1のときの(1)の左辺は 2^k+1 となりますよね。
2^k+1というのは2×2^kで表すことができ、
2×2^kというのは2^k > 3kの2倍したものである。
という事ですよね。ということが(2)ですよね。
その次のまたという所から下が何をしているのかがわかりません。
すいませんが教えてください。(文が長くてすいません。)

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A 回答 (5件)

この回答は、スペースの関係ではしょっている部分が多いのだと思います。

(数学の問題集でありがち)


(II)k≧4として、n=kのとき、(1)が成り立つと仮定するとき、
2^(k+1) - 3(k+1) > 0 ・・・(i)

であることを証明すれば、帰納的に命題を証明することになる。
(i)より
2^(k+1) - 3(k+1) = 2^k * 2 - 3k + 3

ここで、仮定より

  2^k > 3k

なので、
2^k * 2 - 3k + 3 > 3k * 2 - 3k + 3
= 3k + 3 > 0

=========
AがBより大きいこと(A>B)を証明するには、「A-B」を式変形していき、0より大きいことを証明するのが、常套手段です。

がんばってください。
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他の方がすでに回答していますが、


「A>B」を証明するには、「A-B>0」を示すことを考えるのが、定石です。

しかし、type2000さんの教科書の回答例では、別な方針で証明しているようです。
「A>B」の証明を証明するのに、「A>CかつC>B」を示しているのです。
この方法は、AとBの2つでは直接計算しにくい場合(A-Bを計算しにくい場合)、その間にある計算しやすい値を挟んで考えるわけです。
数年前の東京大学理系数学の入学試験問題に
「π>3.05の証明」
というのがありましたが、これがよい例で、
π[半径1の円の面積]>3*(√2)*((√3)-1)[その円に内接する正24角形面積]>3.05
を示すという方針で解けます。

これをふまえて考えると、
A=2^(k+1)
B=3(k+1)
C=6k
の関係にあります。

質問中の(2)で示しているのが、「A>C」の部分で、
type2000さんがわからないと言っている、「また~(3)」の部分が、「C>B」を示しています。
よって、「A>B」すなわち、「2^k+1 > 3(k+1)」が示されます。
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補足的な説明。


A>Bを示すには、A-B>0を示してもよいわけです。(移項ですね)
だから6k>3(k+1)は6k-(3K+1)>0と同値で、
6k-3k-3>0,つまり3k-3>0,すなわち3(k-1)>0と同値です。
k>4なのでk-1>3>0,よって3(k-1)>0.
以上より6k>3(k+1)がいえます。
これと2^(k+1)>6kをつなぐと
2^(k+1)>6k>3(k+1),つまり2^(k+1)>3(k+1)
ということです。
通常上のごとき移項は煩瑣なので書かないものですし、3(k-1)>0の一節も「明らか」ですので書かないのが普通、ということで教科書のごとき記述になるわけです。
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>つまり、6k - 3(k+1)を証明すればよいことになり、




6k - 3(k+1) > 0を証明すればよいことになり、

の間違いです。
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2^k+1 > 3(k+1)


を証明する過程で、

「また」の前までで
2^k+1 > 6k

まで示すことができましたから、

あとは、6k > 3(k+1)が示せれば、
証明が完成することになります。

つまり、6k - 3(k+1)を証明すればよいことになり、
あとは、解答のとおりになります。
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