整数問題 15 大阪府立

いったい何処から手を付けていいのか？

サッパリですが、a が実数である　　

このことを十分考慮して打開できるのかな？

試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチも教えて下さい。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/19 18:20

連立1次方程式

　3x + ay = 0,
　(a+2)x - y = 3.
を解くと
　x = 3a/(a^2+2a+3),
　y = -9/(a^2+2a+3).
両式を同時に満たす「実数」x,y は、
a が実数であれば一意確定に存在する。

この x,y が整数になる条件を探すわけだが、
y= のほうの式を a の二次方程式として解くと
a = -1 ± √(- 9/y - 2).

a が実数であるために、y は - 9/y - 2 ≧ 0
すなわち -9/2 ≦ y < 0 の範囲になくてはならない。
そのような整数は y = -1, -2, -3, -4 に限られる。
それぞれ検討しよう。

y = -1 のとき:
a = -1 ± √7,
x = (-1 ± √7)/3.　　　xが整数でなく不適。

y = -2 のとき:
a = -1 ± √(5/2),
x = (-1 ± √(5/2))/3.　xが整数でなく不適。

y = -3 のとき:
a = 0, -2,
x = 0, -2.　　　　　　　どちらも解である。

y = -4 のとき:
a = -1/2, -3/2,
x = -2/3, -2.　　　　　a = -1/2 は、xが整数でなく不適。
　　　　　　　　　　 a = -3/2 は解である。

以上より、両式を同時に満たす「整数」x,y があるのは、
(a,x,y) = (0,0,-3), (-2,-2,-3), (-3/2,-2,-4) のときである。

この回答へのお礼

学者様

ご回答ありがとうございます。

私も考えてみましたが、a の実数条件を x で使いました

お暇があれば

https://oshiete.goo.ne.jp/mypage/history/question/

でも、ご意見ください

from minamino

お礼日時：2023/05/21 08:11

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/19 20:34

3x+ay=0 …(1)

(a+2)x-y=3 …(2)
↓両辺にaをかけると
a(a+2)x-ay=3a
↓これと(1)を加えると
{a(a+2)+3}x=3a
(a^2+2a+3)x=3a
↓両辺をxで割ると
a^2+2a+3=3a/x
↓両辺に-3-3a/x加えると
a^2+2a-3a/x=-3
a^2+(2-3/x)a=-3
{a+1-3/(2x)}^2-(2x-3)^2/(4x^2)=-3
↓両辺に(2x-3)^2/(4x^2)を加えると
{a+1-3/(2x)}^2=(2x-3)^2/(4x^2)-3
{a+1-3/(2x)}^2=(-8x^2-12x+9)/(4x^2)
0≦{a+1-3/(2x)}^2=(-8x^2-12x+9)/(4x^2)
0≦-8x^2-12x+9
↓両辺に8x^2+12x-9を加えると
8x^2+12x-9≦0
x^2+(3/2)x-9/8≦0
(x+3/4)^2-27/16≦0
{x+3(1+√3)/4}{x+3(1-√3)}≦0
-3<-3(1+√3)/4≦x≦3(-1+√3)/4<3/4<1
↓xは整数だから
-2≦x≦0

x=-1と仮定すると
(1)から
-3+ay=0
ay=3
(2)から
-a-2-y=3
-y-5=a
↓これをay=3に代入すると
(-y-5)y=3
0=y^2+5y+3
0=(y+5/2)^2-13/4
0=(2y+5)^2-13
13=(2y+5)^2
となってyが整数であることに矛盾するから
x=0.or.x=-2

x=0のとき
(2)から
-y=3
y=-3
(1)から
-3a=0
a=0

x=-2のとき
(1)から
-6+ay=0
ay=6
2ay=12

(2)から
-2(a+2)-y=3
-7-y=2a
↓これを2ay=12に代入すると
(-7-y)y=12
0=y^2+7y+12
0=(y+3)(y+4)
y=-3.or.y=-4
y=-3のとき
a=(-7-y)/2=-2

y=-4のとき
a=(-7-y)/2=-3/2

∴
x=0,y=-3 のとき a=0
x=-2,y=-3 のとき a=-2
x=-2,y=-4 のとき a=-3/2

この回答へのお礼

教授

おはようございます。

お元気でしたか？

本問は、 a の実数条件で絞りこむのが、本筋なんでしょうが

それを使わず、正解を得る計算力には頭が下がるばかりです

https://oshiete.goo.ne.jp/mypage/history/question/

の返信がないので、心配しています

では、

from minamino

お礼日時：2023/05/21 08:17

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/19 15:42

訂正します。

1.
xを消すと
　(a+2)(-ay/3)-y=3 → {(a+2)a+3}y=-9
→ {(a+1)²+2}y=-9

y=0 の時は、この式を満たさないので、y≠0 とすると
　{(a+1)²+2}=-9/y・・・・①

{(a+1)²+2}≧2 だから
　-9/y≧2 → -y≦4.5 → -y≦4
①から、-yは0以外の正の整数だから
　1≦-y≦4 → y=-1,-2,-3,-4
となる。すると

・y=-1 のとき
　{(a+1)²+2}=9 → a=-1±√7
　x=-ay/3=(-1±√7)/3 ・・・・整数でなく不可

・y=-2 のとき
　{(a+1)²+2}=4.5 → a=-1±√2.5
　x=-ay/3=(-1±√2.5)/3 ・・・・整数でなく不可

・y=-3のとき
　{(a+1)²+2}=3 → a=0 or -2
　a=0 → x=-ay/3=0・・・・・可
　a=-2 → x=-ay/3=-2・・・・可

・y=-4のとき
　{(a+1)²+2}=9/4 → a=-1±1/2=-1/2 or -3/2
　a=-1/2 → x=-ay/3=2/3 ・・・・整数でなく不可
　a=-3/2 → x=-ay/3=-2 ・・・・可

まとめると
　(x,y,a)=(0,-3,0), (-2,-3,-2), (-2,-4,-3/2)

この回答へのお礼

お久しぶりです。

ご回答ありがとうございます

私は、 a が実数である事を条件で絞り込みましたが

その様な解き方もあるんですね

ありがとうございました

出来ましたら

https://oshiete.goo.ne.jp/mypage/history/question/

でも、ご意見をお聞かせください。

from minamino

お礼日時：2023/05/21 08:01

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/19 11:08

#2です.間違えました、訂正します

3x+ay=0 …(1)
(a+2)x-y=3 …(2)

(1)の両辺にxをかけると
3x^2+axy=0 …(3)

(2)の両辺に yをかけると
axy+2xy-y^2=3y …(4)

(3)から(4)を引くと

3x^2-2xy+y^2=-3y
↓両辺に3yを加えると
3x^2-2xy+y^2+3y=0
3(x-y/3)^2+2y^2/3+3y=0
3(x-y/3)^2+(2/3)(y+9/4)^2-27/8=0
↓両辺に24をかけると
8(3x-y)^2+(4y+9)^2-81=0

↓両辺に81を加えると

8(3x-y)^2+(4y+9)^2=81

8(3x-y)^2=81-(4y+9)^2
0≦8(3x-y)^2=81-(4y+9)^2
0≦81-(4y+9)^2
(4y+9)^2≦81
|4y+9|≦9
-9≦4y+9≦9
-18≦4y≦0
-18/4≦y≦0
-4-1/2≦y≦0
-4≦y≦0

y=0のときx=0,0=(a+2)x-y=3,不適
y=-1のとき8(3x+1)^2=81-25=56,(3x+1)^2=7,不適
y=-2のとき8(3x+2)^2=81-1=80,(3x+1)^2=10,不適

y=-3のとき
8(3x+3)^2=81-9=72
(3x+3)^2=9
3x+3=±3

3x+3=3のとき
x=0
-3a=0
-3a=3
a=0
-y=3
(x,y,a)=(0,-3,0)

3x+3=-3のとき
3x=-6
x=-2
-6-3a=0
-6=3a
-2=a
(x,y,a)=(-2,-3,-2)

y=-4のとき
8(3x+4)^2=81-49=32
(3x+4)^2=4
3x+4=±2
3x+4=2のとき3x=-2,不適
3x+4=-2
3x=-6
x=-2
∴
x=-2
y=-4
↓これを(1)に代入すると
-6-4a=0
-6=4a
-3/2=a

(x,y,a)=(0,-3,0)
(x,y,a)=(-2,-3,-2)
(x,y,a)=(-2,-4,-3/2)

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/19 10:23

#1です。

間違えました。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/19 09:49

3x+ay=0 …(1)

(a+2)x-y=3 …(2)

(1)の両辺にxをかけると
3x^2+axy=0 …(3)

(2)の両辺に yをかけると
axy+2xy-y^2=3y …(4)

(3)から(4)を引くと

3x^2-2xy+y^2=-3y
↓両辺に3yを加えると
3x^2-2xy+y^2+3y=0
3(x-y/3)^2+2y^2/3+3y=0
3(x-y/3)^2+(2/3)(y+9/4)^2-27/8=0
↓両辺に24をかけると
8(3x-y)^2+(4y+9)^2-81=0

↓両辺に81を加えると

8(3x-y)^2+(4y+9)^2=81

8(3x-y)^2=81-(4y+9)^2
0≦8(3x-y)^2=81-(4y+9)^2
0≦81-(4y+9)^2
(4y+9)^2≦81
|4y+9|≦9
-9≦4y+9≦9
-18≦4y≦0
-18/4≦y≦0
-4-1/2≦y≦0
-4≦y≦0

y=0のときx=0,0=(a+2)x-y=3,不適
y=-1のとき8(3x+1)^2=81-25=56,(3x+1)^2=7,不適
y=-2のとき8(3x+2)^2=81-1=80,(3x+1)^2=10,不適
y=-3のとき8(3x+3)^2=81-9=27,不適

y=-4のとき
8(3x+4)^2=81-49=32
(3x+4)^2=4
3x+4=±2
3x+4=2のとき3x=-2,不適
3x+4=-2
3x=-6
x=-2
∴
x=-2
y=-4
↓これを(1)に代入すると
-6-4a=0
-6=4a
-3/2=a

∴
a=-3/2

(x,y,a)=(-2,-4,-3/2)

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/19 08:44

1.

xを消すと
　(a+2)(-ay/3)-y=3 → {(a+2)a+3}y=-9
{(a+2)a+3}≠0 なので
→ y=-9/{(a+1)²+2}

yが整数となるには
　(a+1)²+2=3, 9 → a=0, -2 or (-1±√7)
となる。すると
　a=0, -2 → y=-3
　a=(-1±√7) → y=-1 → x=-ay/3=(-1±√7)/3
となり、後者は xが整数でない。

すると
　a=0,y=-3 → x=-ay/3=0
　a=-2,y=-3 → x=-ay/3=-2

まとめると
　(x,y,a)=(0,-3,0), (-2,-3,-2)