整数問題 16 一橋大学再び

本題

p+q+r=132
から 3 の倍数とはわかります

でも、和が 3 の倍数といっても使い道がわかりません

ただ、p²=q²+r²

が成立するのはわかりますが、、、

試行錯誤中です、

識者の方のアプローチも教えて下さい

以下問題

------------------------------------------------

質問者からの補足コメント

• 

  出題　一橋大学
  
  一見、整数問題にも思えるが、図形が絡む問題であるから、図形の性質を活かして答案を作成した
  
  結局、三平方の定理は使わずに処理できた
  
  計算も　p の一次方程式だけで済んだのは自分でも驚きである
  
  発想は、p+q+r=132 を　積の形で利用したい、そこから、面積での解決に至った
  
  
  以下、私の答案です
  
  ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

  
    補足日時：2023/05/21 14:45

• 

  ご回答ありがとうございます。
  
  出題　一橋大学
  
  一見、整数問題にも思えるが、図形が絡む問題であるから、図形の性質を活かして答案を作成した
  
  結局、三平方の定理は使わずに処理できた
  
  計算も　p の一次方程式だけで済んだのは自分でも驚きである
  
  発想は、p+q+r=132 を　積の形で利用したい、そこから、面積での解決に至った
  
  
  以下、私の答案です
  
  --------------------------------------------------------

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/21 14:49

• 

  出題　一橋大学
  
  一見、整数問題にも思えるが、図形が絡む問題であるから、図形の性質を活かして答案を作成した
  
  結局、三平方の定理は使わずに処理できた
  
  計算も　p の一次方程式だけで済んだのは自分でも驚きである
  
  発想は、p+q+r=132 を　積の形で利用したい、そこから、面積での解決に至った
  
  
  以下、私の答案です
  
  -------------------------------------------------------------

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/21 14:50

• 

  教授、こんばんは
  
  図解ありがとうございます
  
  折角ですが、頂いた考え方は、とても頂ける内容ではありません。
  
  残念ながら
  
  from minamino

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/22 23:10

• 

  学者
  
  こんばんは。
  
  ご指摘部分ですが、以下です

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/22 23:12

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/22 19:57

p^2=q^2+r^2

p+q+r=132
p=132-q-r
p^2=(132-q-r)^2=q^2+r^2
132^2-2*132q-2*132r+2qr=0
132*66-132q-132r+qr=0
(132-q)(132-r)=8712=2^3*3^2*11^2
132-q=2^x(3^y)11^z
132-r=2^(3-x)3^(2-y)11^(2-z)
0≦x≦3
0≦y≦2
0≦z≦2
となる整数x,y,zがある
q=132-2^x(3^y)11^z
r=132-2^(3-x)3^(2-y)11^(2-z)
q≦r　とすると
q≦r<p
0<3q<p+q+r=132
0<q<44
だから
0<132-2^x(3^y)11^z<44
88<2^x(3^y)11^z<132
↓各辺を11で割ると
8<2^x(3^y)11^(z-1)<12
2^x(3^y)11^(z-1)=9.or.10.or.11
2^x(3^y)11^(z-1)=10となるx,y,zは存在しない
2^x(3^y)11^(z-1)=9のとき
x=0,y=2,z=1
q=132-99=33
r=132-88=44
q,rは素数でないから不適
∴
2^x(3^y)11^(z-1)=11
x=0,y=0,z=2
q=132-11^2=11
r=132-72=60
p=132-11-60=61

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/23 14:35

脱字：

q が (11・2²・3-2p)(11・2・3) の素因数、かつ 2 でも 3 でもない

この回答へのお礼

>もう少し頑張れ。

お前が頑張れ

お礼日時：2023/05/25 10:27

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/23 14:34

で、

補足(05/21 14:49)では何の説明もなかった箇所に
補足(05/22 23:12)で説明が入ったことで、
その説明が間違っていることが明らかになった。
これだから、説明は必要だ。

q が (11・2²・3-2p)(11・2・3) かつ 2 でも 3 でもない
という条件からは、 i) または ii) とは言えない。
iii)　(11・2²・3-2p) が合成数で q がその素因数
という可能性が排除できていないからだ。

結果的に答えが i) から出るもののみになる(理由は No.3 参照)
ことから、iii) が不適であることは、理由を示すことができるはず。
もう少し頑張れ。

この回答へのお礼

q が (11・2・3-p)(11・2²・3)=qr

iii)　(11・2・3-p) が合成数で q がその素因数
という可能性が排除できていないからだ。

そのとき、r の長さは, 最小でもいくつになりますか？

こんなことまで、説明いりますか？

お礼日時：2023/05/25 05:42

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/23 11:13

補足2023/05/22 23:12について

③左辺において2,3は素数であるが3角形の1辺に不適
とあるけれども

p,r が整数でなければありえるから証明が必要

q=2
r=2112/65≒32.4923
p=6338/65≒97.507

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/23 04:20

補足2023/05/22 23:12について

(11・2^2・3-2p)(11・2・3)=qr

の
下線部
11・2^2・3-2p
は

11・2^2・3-2p=2(11・2・3-p)

2
と
11・2・3-p
に
分解できるから
11・2^2・3-2p
が
素数であるとはいえない

この回答へのお礼

教授

おはようございます。

その考え方、頂きです

ありがとうございます

from minamino

お礼日時：2023/05/23 05:12

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/23 03:17

←補足(05/22 23:12)

そう。
そうやって、何をやったのかを話の飛躍無く書かないと、
正誤以前に答案と呼ぶレベルに達しない。
補足で、良くなったじゃないの。

依然、No.3 のほうが道筋が整然しているけどね。
No.5 もこっちを真似している。

この回答へのお礼

>No.5 もこっちを真似している

は、失礼だよ


あの方は、今まで自力でどんな問題でも正解に至っている

私は、解ければいい、そんな数学はしない

つねに、美しくてシンプルで美に溢れた答案を目指している

意識が違う

お礼日時：2023/05/23 05:10

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/21 17:51

←補足(05/21 14:50)

8行目「q,rのどちらかは素数であるから」以降の
話の流れが判らない。
i) ii) に場合分けできるってことなのだろうか？
だとしたら、そのように場合分けできる根拠は何か？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/21 11:51

p²=q²+r² と p+q+r=132 から未知数を1個消去することができますね。

どれを消去するのが扱いやすいかな？
「少なくとも２つは素数」との兼ね合いからすると、
q, r の対称性は残したほうがよさげです。
両式から p を代入消去してみると、 qr - 132r - 132q + 132²/2 = 0 で、
これは (q - 132)(r - 132) = 2³×3²×11² と整理できます。

右辺を2個の整数の積に分解する方法はアホほどあるな...
p,q,r>0 と p+q+r=132 から 0<q,r<132 が言えるのと
q<r と設定しても一般性を失わないことから、
66 = 2³×3²×11²/132 < 132-r < √(2³×3²×11²) = 66√2 ≒ 93.3
が絞り込みに使えて
(132-r,132-q) = (72,121), (88, 99) だけが候補に残ります。

このとき、(p,q,r) = (61,60,11), (55,44,33) となるので、
「少なくとも２つは素数」のものは (p,q,r) = (61,60,11) のみ。
というか、対称性から (p,q,r) = (61,60,11), (61,11,60) が解です。

この回答へのお礼

学者さん

学者さんは、知識はおありなのでしょうが

数学で一番大事なことである着眼点が弱いんですよね

では、

from minamino

お礼日時：2023/05/22 23:43

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/21 10:31

その2.

ｐ が素数であることに気付いたうえで三角不等式から p を制限する.

この回答へのお礼

誰でも始めに思いつきそうですが、私は、敢えてヤラナイ

お礼日時：2023/05/21 10:53

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/21 09:49

(正) 整数 m, n が存在して

p=m^2+n^2, q=2mn, r=m^2-n^2
と書ける.

この回答へのお礼

それってただの
定理(ピタゴラス数を作り出す公式)
ですよね。

凹凹凹

お礼日時：2023/05/21 10:33