Σ計算と意味

Question

Σa＝ｓa　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ＝１からｓまでで　　　
この問題でなぜｓaとなるのですか？ｋはどこに行ってしまったのですか？ｋとｓとaは変数ですか？それとも定数ですか？これはどういう意味をしめしているのですか？だれか教えて下さい。　　　　　　　
　　　　
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Σ１０＝１００　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ＝１から１０までで、 この問題もなぜこうなるのか
わからないので教えてください。

shkwta · Accepted Answer

ご質問は、次の意味だと思います。
-------------------------------
Σ[k=1 to s] a という式が書いてある。
※[k=1 to s]は、Σの下にk=1、Σの上にs　の意味。
これを計算すると、s a になる。計算には、kを使わない。では、kは何のために書いてあるのか？
-------------------------------

まず、基本から説明します。４枚のカードがあるとします。カードに1番、2番、3番、4番と番号をつけます。それぞれのカードには、数が書いてあります。書いてある数は次の通りです。
1番→15　2番→8　3番→21　4番→6

カードの番号を表わすのに、kという文字を使うことにします。たとえば、k=2だったら、kは2番のカードを表わします。

カードに書いてある数字を表わすのに、A(k) という記号を使うことにします。
※実際は、カッコに入れないで、Aの右下にkを書くのが普通です。

すると、４枚のカードは次のように表わされます。
A(1)=15,　A(2)=8,　A(3)=21,　A(4)=6

--------------

さて、ここで、４枚のカードに書いてある数を合計します。
15 + 8 + 21 + 6 = 50

もちろん、この式で正しいです。しかし、この式は不便です。カードは実際は100枚かもしれないし、１億枚かもしれません。書いてある数字もいろいろ変わります。そんなときでも使える和の記号が発明されました。それがΣ（シグマ)です。

４枚のカードの数を合計するのは、

Σ[k=1 to 4] A(k) = 50

こう書きます。Σの下にk=1と書くのは、「カードの番号をkで表わす。カードの番号は1番から始まる」という意味です。Σの上に4と書くのは、「カードの番号の最後は4番」という意味です。A(k)は、k番のカードに書いてある数を表わします。これなら、1億枚になっても

Σ[k=1 to 100000000] A(k)

と書けばいいし、カードの枚数がわからなくて、枚数を s 枚とするときは

Σ[k=1 to s] A(k)

と書けばよいのです。

----------------------

カードの番号を表わす文字は、kでなくてもかまいません。たとえば、tを使うと
Σ[t=1 to s] A(k)

このkとかtは、カードの番号を表わすのに一時的に使う変数です。合計ができたら、役目は終了です。合計の結果にkやtは含まれません。もし、合計にkやtが現れたら、計算間違いです。

------------------------

次の式を考えます。
Σ[k=1 to 4] (k + 3)

これは、1番のカードには4, 2番のカードには5,というように番号に3を足した数を書いてあるという意味です。答は 4+5+6+7=22となります。
----------------------

ご質問の、
Σ[k=1 to s] a 
この式は、1番からs番までのカードがあって、全部のカードに同じ数 a が書いてある。その合計を求めよ、という意味です。

1番からs番までだから、カードはs枚あります。書いてある数は全部aだから、合計は s a です。
計算にkは使わないのですが、それはたまたま全部のカードが同じ数だからです。
--------------------------
k, s, a が変数か、という話ですが、すべて変数です。しかし、kは変数といっても、他の変数とは意味が異なります。s と a は、別のところで定義されるはずの変数です。たとえば、s=24, a=75になりました、合計を求めてください、という具合です。

kは違います。kは、合計するときだけに現れます。最初はk=1, 次にk=2と変化していきます。合計が終わったら、kは役目を終えて、消えてしまいます。「kさんを呼んできて、番号を数える係をさせる」という感じです。

marth · Answer

基本的に、Σは数列の和を表すものです。
従って、Σの下にk=1、上に10とあった場合は、数列の第１項から第１０項までの和を表すことになります。

次に、Σa_k（_kは下に小さく書かれた「k」という意味／Σの上下は省略）と書かれていた場合、足し算している数列はa_kであることを表しています。kは数列の一般項の変数としての意味があるのです。
（数列の一般校は「a_n＝・・・」とnの式で書かれますが、この n は与えられた数というイメージが強いので、この場合にはあまり使われません。）
その意味で、k は変数といえるでしょう。また、s は与えられた数、a は本来は数式の一般項を意味します。ただし、今回の場合は定数です。（その辺は、その式が出てくる前の文章をお読みください。）

さて、問題の式Σaですが、これは、どの項も定数 a である数列を意味しています。したがって、その数列の項を第１項からを第 s 項まで足すと、単純に sa となるのは分かりますでしょうか。

これを、Σ_{k=1}^{10} 10 = 100 （Σ_{k=1}^{10}は、Σの下に「k=1」、上に「10」と書いてあるという意味）で考えれば、どの項も10である数列の第１項から第１０項までを足した和という意味ですので、上のΣ_{k=1}^{s} a = sa と同様の理由でこのような計算になるわけです。

Σは数列の足し算をしていると思えば、とりあえずは問題はないでしょう。

sugarface · Answer

まず、Σ１０＝１００（ｋ＝１から１０）
意味は
10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 （１０個）
ですから、答えは100です。（簡単ですね）

同様に
Σa＝ｓa（ｋ＝１からｓまで）
a+a+a+...+a+a+a（ｓ個）
よって答えは sa です。

juunishichou · Answer

Σ[k=1,s] a
でkはどこに行ってしまったの?ですが、こう考えてみてはどうでしょう。

 Σ[k=1,s] a+k*0
=Σ[k=1,s] a

ですから、

 a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+a+0+...a+0
=a+a+a+a+a+a+a+...+a
　　　↓
　　aがs個
=sa

となると考えれば簡単だと思います。

shkwta · Answer

No.3です。
真ん中あたりの、下記の部分を訂正します。

カードの番号を表わす文字は、kでなくてもかまいません。たとえば、tを使うと
Σ[t=1 to s] A(k)　→　Σ[t=1 to s] A(t)

shkwta · Answer

No.3補足への回答です。

Σ[k=0 to n+1](k + 1)(k + 2)

これは、
k=0のとき　(0 + 1)(0 + 2)
k=1のとき　(1 + 1)(1 + 2)
k=2のとき　(2 + 1)(2 + 2)
・・・・
k=n+1のとき　(n + 1 + 1)(n + 1 + 2)

これ全部の和です。
---------------------
別の例で、たとえば、

Σ[k=-8 to -3](k + 1)(k + 2)

このように書いたら、
(-8 + 1)(-8 + 2)
(-7 + 1)(-7 + 2)
・・・
(-3 + 1)(-3 + 2)
の総和です。

つまり、kがどこからどこまでかがはっきりしていればよく、k=1から始まっている必要はないわけです。
----------------------
別の例です。

Σ[k=0 to 10] 10

この答えは110 です。0番から10番までで、10が11個あるからです。

Σ[k=-4 to 9] 10

この答えは140 です。-4番から9番までで、10が14個あるからです。

Σ計算と意味

基本的に、Σは数列の和を表すものです。

この回答への補足

まず、Σ１０＝１００（ｋ＝１から１０）

ご質問は、次の意味だと思います。

この回答への補足

Σ[k=1,s] a

No.3です。

No.3補足への回答です。

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