円順列

赤玉10個白玉２０個青玉３０個からできる円順列の総数を教えてください

質問者からの補足コメント

• 詳しい回答に深く感謝します。
  [3-3] (3) Ω(5,10,15)のうちには、c∈Ω(1,2,3)が5回繰り返したものc^5が含まれている。Z((10,20,30),a) = 30 を満たすのはこれらを除いたものなので、
  　　|A(5,10,15)| = |Ω(5,10,15)|-|A(1,2,3)| = 30C5×25C10 - 60 = 465817912560 - 60 = 465817912500は
  465817912560 -13800- 60 = 465817898700としてはいけないのでしょうか。

    補足日時：2023/06/07 02:00

• 解答をしていただいた皆様に心よりお礼します。
  本当にありがとうございました。

    補足日時：2023/06/07 15:16

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/07 13:44

No.4 [3-4]の最初の式とその次はコピペ失敗してますね。

修正はご自分で。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/06 23:16

そのうちとか言ってたが。

赤10個白20個青30個の円順列。（数珠順列（鏡像を同一視する）だとまた全然話が違う。）

[1] 赤p個白q個青r個を一列に並べた列の集合をΩ(p,q,r)と表すことにする。また、a∈Ω(p,q,r)について「aをイッコズラシ（すなわち、右端の玉を左端へ移動するという操作を）することを繰り返して行って、初めて元の列aと同じになるまでの、イッコズラシの回数」をZ((p,q,r),a)とする。

[2] Ω(10,20,30)を分類する。10, 20, 30の共通因数は1,2,5,10なので、
(1)A(1,2,3) : 長さZ((10,20,30),a) = 6 であり、すなわち列b∈Ω(1,2,3)が10回反復するもの。
(2)A(2,4,6) :長さZ((10,20,30),a) = 12 であり、すなわち列b∈Ω(2,4,6)が5回反復するもののうち、(1)でないもの。
(3)A(5,10,15): 長さZ((10,20,30),a) = 30 であり、すなわち列b∈Ω(5,10,15)が2回反復するもののうち、(1)(2)でないもの。
(4)A(10,20,30): 長さZ((10,20,30),a) = 60 であり、すなわち列a=b∈Ω(10,20,30)のうち、(1)(2)(3)でないもの。
の4種類に分類できる。

[3-1] (1) Ω(1,2,3) について。|Ω(1,2,3)|=6C1×5C2 = 60 である。また、すべてのb∈Ω(1,2,3) は Z((1,2,3),b)=6なので、
　　|A(1,2,3)|=|Ω(1,2,3)| = 60

[3-2] (2) Ω(2,4,6)のうちには、c∈Ω(1,2,3)が2回繰り返したものc^2が含まれている。Z((10,20,30),a) = 12を満たすのはこれらを除いたものなので、
　　|A(2,4,6)| = |Ω(2,4,6)|-|A(1,2,3)| = 6C1×5C2 - 60 = 13860 - 60 = 13800

[3-3] (3) Ω(5,10,15)のうちには、c∈Ω(1,2,3)が5回繰り返したものc^5が含まれている。Z((10,20,30),a) = 30 を満たすのはこれらを除いたものなので、
　　|A(5,10,15)| = |Ω(5,10,15)|-|A(1,2,3)| = 30C5×25C10 - 60 = 465817912560 - 60 = 465817912500
[3-4] (4) Ω(10,20,30)のうちには、c∈Ω(1,2,3)が10回繰り返したものc^10、d∈Ω(2,4,6)が5回繰り返したものd^5、e∈Ω(5,10,15)が2回繰り返したものe^2が含まれている。従って、
　　|A(10,20,30)| = |Ω(10,20,30)| - |A(1,2,3)| - |A(2,4,6)| - |A(1,2,3)|
　　　= 60C10×50C20 - |A(1,2,3)| - |A(2,4,6)| - |A(1,2,3)|
　　　= 3553261127084984957001360 - 465817912500 - 13800 - 60
　　　= 3553261127084519139075000
である。

[4] それぞれの分類における円順列の場合の数は、要素数を繰り返し単位の長さで割ったもの。すなわち、
(1)の円順列は|A(1,2,3)|/6 = 60/6 = 10 通り
(2)の円順列は|A(2,4,6)|/12 = 13800/12 = 1150 通り
(3)の円順列は|A(5,10,15)|/30 = 465817912500/30 = 15527263750通り
(4)の円順列は|A(10,20,30)|/60 = 3553261127084519139075000/60 = 59221018784741985651250 通り
だから、合計
10+1150+15527263750+59221018784741985651250 = 59221018784757512916160 通り。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/06 15:33

計算機で力づくで数えあげるような話ではないが、ちとめんどくさい。

というのは、円環の出発点をずらして眺めると「まるまる1周ぶんずらさなくても、それ自身と同じになる並べかた」というものがあるので、それらを分類して数えなきゃならん、という手間がかかるからです。ま、そのうちやるかもです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 13:22

無理じゃないかな？

赤玉10個,白玉20個,青球30個を一直線に並べる
並べ方が (10+20+30)！/(10！ 20！ 30！) 通りだが、
これを円形に繋いだとき、どれとどれが同じになるか
は非常に不規則で、計算のしようがない。

赤玉,白玉,青球それぞれの個数が多いことも問題だが、
玉の総数60に約数が非常に多いことが凶悪で、
PCでシラミツブシにしても計算量がハンパない。

参考書で、円順列の総数を求めている問題をいくつか見てごらん。
玉の個数が1個の色があるか、各色の玉の総数がとても少ないか
のどちらかになってるはず。そうでないと円順列は手に負えない。