x^2y+5y^3-3xyz=0 …①の解として(x,y,z)=(1,1,2)が挙げられますが、 こ

x^2y+5y^3-3xyz=0 …①の解として(x,y,z)=(1,1,2)が挙げられますが、
このように1つの解(1,1,2)が見つかれば(2,2,4)や(3,3,6)も解であると分かり、
さらに(k,k,2k)という形の解があることがわかるそうです。

これは何故ですか？(1,1,2)が解になるのは分かりますが、これより(2,2,4)や(3,3,6)そして(k,k,2k)も解になるというのが、なぜそう言えるのか分かりません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/12 19:00

ｆ(x,y,z) = x^2 y + 5y^3 - 3xyz と置くと、

ｆ(ak,bk,ck) = (ak)^2 (bk) + 5(bk)^3 - 3(ak)(bk)(ck)
　　　　　= (a^2 b + 5b^3 - 3abc)(k^3)
　　　　　= f(a,b,c) k^3
と整理できる。 同次式ってやつだ。
よって、
(x,y,z) = (a,b,c) が f(x,y,z) = 0 を満たすならば
(x,y,z) = (ak,bk,ck) も f(x,y,z) = 0 を満たす。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/12 17:45

与式は

　y(x²+5y²-3xz)=0 → x²+5y²-3xz=0
だから
　y=ax, z=bx
の解を求めると
　x²(1+5a²-3b)=0 → b=(1+5a²)/3

したがって
　a=1 → b=2 → (x,x,2x) (∀x)
が解となる。

(x,-x,2x), (x,2x,7x)・・・・などもいくらでも。

勿論　(x,y,z)=(x,0,z)も解　(∀x,z)