測定した大気圧と温度をもとに空気の密度を求めたいのですが、P=ρR(t+273.15)の式の意味が分

測定した大気圧と温度をもとに空気の密度を求めたいのですが、P=ρR(t+273.15)の式の意味が分かりません。理想気体の状態方程式PV=nRTから導くことは可能でしょうか？

気圧P、空気の密度ρ、気体定数R、温度t(℃)、体積V、温度T(K)とする。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/08 14:09

＞理想気体の状態方程式PV=nRTから導くことは可能でしょうか？

はい。それから導いていますよ。

PV = nRT
から
　P = nRT/V　　　①

当然、この「T」は絶対温度（単位は [K]）なので、摂氏温度を t [℃] とすれば
　T = t + 273.15
です。

n は空気の物質量であり、気体定数 R の選び方にもよりますが、通常は「mol」の値にします。
空気 n [mol] の体積が V [m^3] なので、その質量を M [kg] とすれば
　M/V = ρ [kg/m^3]
になります。
これは密度です。
乾燥空気では、1 mol あたりの空気の質量は 28.966 [g/mol] なので（これはつまり「空気の平均分子量が 28.966」ということです）
　M = 0.028966n [kg]
の関係になります。

これらの関係を①に代入すれば

　P = (M/0.028966)R(t + 273.15)/V
　　= (ρ/0.028966)R(t + 273.15)　　　　　②

従って、気体定数の単位を通常教科書に載っている気体定数
　R = 8.3145 [J/(mol･K)] 　　　　③
の値と単位を
　R' = R/(0.028966 [kg/mol]) ≒ 287 [J/(kg･K)]　　　　④
にすることで、②は

　P ＝ ρR'･(t + 273.15)

となります。

これがお示しの式ですが、「理想気体の状態方程式」から物理量（従って単位も）を変換していますので、気体定数は③ではなく④を使う必要があります。


もっとも、求めたいものが「空気の密度」の方であれば

・空気の n=1 [mol] に相当する質量は 28.966 [g]
・1 [mol] の気体の体積は、標準状態で 22.4 [L] = 2.24 × 10^4 [cm^3]

つまり、標準状態での
　ρ0 = 28.966 [g] / (2.24 × 10^4 [cm^3])
　　≒ 1.293 × 10^(-3) [g/cm^3]
を既知とした上で、標準状態から「温度、圧力」が変化したのときの「体積」を計算して、「質量は一定」という条件で、その「温度、圧力」での密度を計算することになります。（分子の質量は一定で、分母の「体積」が変化する）

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/07/08 14:11

ρ=n/V、(t+273.15)=T

と言う関係になります。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/08 13:33

> 理想気体の状態方程式PV=nRT

において、

[1] 絶対温度T[K]は、セルシウス(摂氏)温度t[℃]で表すと
　　T = t+273.15
です。

[2] nは物質量[mol]。
　空気 1 molあたりの質量を w [g/mol]とすると、たとえば窒素80%の酸素20％の「空気」なら
　　 w = 0.8×28 + 0.2×32= 28.8
である。
　空気の密度がρ [g/L]のとき、空気V [L]の質量は Vρ [g]だから、空気V [L]に含まれる物質量 n [mol]は
　　n = Vρ/w

[3] 以上を状態方程式に代入して
　　PV = (Vρ/w)R(t+273.15)
これをρについて解けば
　　ρ = wP/(R(t+273.150)
ただしwは空気1molあたりの質量であり、空気の組成による。

[4] さて「空気の組成なんかどこかに載ってるぜ」と思ったら大間違いで、空気には水蒸気が含まれている。だから湿度によって空気の組成が変わることを考慮しなくちゃいけません。
　というわけで、密度を出したければ気圧と温度のみならず、湿度が必要です。