地上から真上に速さv0で発射した物体の到達する最高点の高さを求めよ。ただし、物体には抵抗係数がγの抵

地上から真上に速さv0で発射した物体の到達する最高点の高さを求めよ。ただし、物体には抵抗係数がγの抵抗力が働くものとする。

解き方がわかりません。

教えていただきたいです

質問者からの補足コメント

• v0は初速度だと思ってください

    補足日時：2023/07/13 08:41

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/07/15 14:02

別解

ｖ’＝dv/dt＝dv/dy・dy/dt＝dy/dy・ｖなので運動方程式
ｖ’＝－ｋｖ－ｇ　はdv/dy・ｖ＝－ｋｖ－ｇ　となる。これから
(ｖ/(ｋｖ＋ｇ))dv/dy＝－1、(ｋｖ/(ｋｖ＋ｇ))dv/dy＝－ｋ
ｋｖ/(ｋｖ＋ｇ)＝1－ｇ/(ｋｖ＋ｇ)と変形して上式は
dv/dy－(ｇ/(ｋｖ＋ｇ))dv/dy＝-ｋ
両辺ｙで積分すると
ｖ－(ｇ/ｋ)log(ｋｖ＋ｇ)＝-ｋｙ＋C
ｙ＝0でｖ＝ｖ0だから
ｖ0－(ｇ/ｋ)log(ｋｖ0＋ｇ)＝C・・・①
ｙ＝ｈ(最高点)でｖ＝0だから
－(ｇ/ｋ)logｇ＝-ｋｈ＋C・・・②
①から②をひいてｋでわれば
答が出ます。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/07/14 14:54

鉛直上方にｙ軸を立てると運動方程式は

ｍｖ’＝－γｖ－ｍｇ　ｖは速度ｙ’、’は時間の一回微分
両辺ｍで割って
ｖ’＝－ｋｖ－ｇ・・・①　ｋ＝γ/ｍ
①からｖ’/(ｋｖ＋ｇ)＝－1＝－ｇ/ｇだけども①から
－ｇ＝ｖ’＋ｋｖ　だから上式は
ｖ’/(ｋｖ＋ｇ)＝(1/ｇ)(ｖ’＋ｋｖ)＝(1/ｇ)(ｖ’＋ｋｙ’)
両辺時間積分すると
（1/ｋ)log(ｋｖ＋ｇ)＝(1/ｇ)(ｖ＋ｋｙ)＋C　Cは定数
ｔ＝0でｖ＝ｖ0、ｙ＝0　とすれば上式は
(1/ｋ)log(ｋｖ0＋ｇ)＝(1/ｇ)ｖ0＋C・・・②
また最高点ｙ＝ｈではｖ＝0だから
(1/ｋ)logｇ＝(1/ｇ)(ｋｈ)＋C・・・③
②から③をひいてｈについて解けば
最高点ｈ＝(ｖ0/ｋ)－(ｇ/k²)log(1＋(ｋｖ0)/g)）
ｋ＝γ/ｍだからこれはNo.3さんの最後の答に一致します。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/13 11:56

#2 さんは「力学的エネルギー保存」を適用していますが、「空気の抵抗力」は保存力ではないのでそれでは解けません。

きちんと「運動方程式」を立てて解かないといけません。
上向きを「x 軸の正」として、鉛直方向だけの一次元で考えます。

・働く力：一定の重力 -mg と、速度の「逆向き」の抵抗力 -γv
　　（v>0 つまり「上向き」に運動しているとき抵抗力は「負（下向き）」、v<0 つまり「下向き」に運動しているとき抵抗力は「正（上向き）」ということ）
　合力は
　　F = -mg - γv

・従って、物体の加速度を a とすれば、運動方程式 F = ma は
　　-mg - γv = ma

・よって、加速度は
　　a = -g - γv/m　　　　①

①は、右辺にも t の関数 v を含むので、単純には積分できません。
まずは
　a = dv/dt
であることを使って、v を求めます。

①は
　dv/dt = -g - (γ/m)v　　　　②

積分の初心者は
　g + (γ/m)v = u　　　　　③
とおいて
　v = (m/γ)(u - g)
より
　dv/dt = (m/γ)du/dt
として、②を
　(m/γ)du/dt = -u
→　du/dt = -(γ/m)u
とすれば、変数分離で積分できますね？
　∫(1/u)du = -(γ/m)∫dt
→　log|u| = -(γ/m)t + C1　（C1：積分定数）
→　u = ±e^[-(γ/m)t + C1]
　　　= ±e^C1･e^[-(γ/m)t]
　　　= C2･e^[-(γ/m)t]　（C2 = ±e^C1）

③を元に戻して
　g + (γ/m)v = C2･e^[-(γ/m)t]
→　v = C2･(m/γ)e^[-(γ/m)t] - mg/γ　　　　④

初速度（t=0 のときの速度）が v0 なら
　v(0) = C2･(m/γ) - mg/γ = v0
より
　C2 = (γ/m)(v0 + mg/γ) = (γ/m)v0 + g

よって④は
　v = [(γ/m)v0 + g]･(m/γ)e^[-(γ/m)t] - mg/γ
　　= [v0 + (mg/γ)]e^[-(γ/m)t] - mg/γ 　　　　　　　⑤
　　= v0･e^[-(γ/m)t] - (mg/γ){1 - e^[-(γ/m)t]}　　　　⑥

⑥のように書けば、第1項は「t=0 で v0、時間とともに減衰」する項であり、第2項は「t=0 でゼロ、時間とともに -(mg/γ) に収束していく」項になります。

そのときの「変位」は、⑤を

　v = dx/dt = [v0 + (mg/γ)]e^[-(γ/m)t] - mg/γ

と書いて積分すれば

　x = -[v0 + (mg/γ)]･(m/γ)･e^[-(γ/m)t] - (mg/γ)t + C3
　　= -[ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g]･e^[-(γ/m)t] - (mg/γ)t + C3

t=0 のときの高さを x(0) = 0 とすれば
　x(0) = -[ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g] + C3 = 0
→　C3 = ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g

よって
　x(t) = -[ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g]･e^[-(γ/m)t] - (mg/γ)t + ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g
　　　= [ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g]{1 - e^[-(γ/m)t]} - (mg/γ)t　　　⑦

最高点では速度がいったんゼロになるので（上向きの「正」の速度から、下向きの「負」の速度に変わる）⑤が =0 になる時刻 T を求めると

　v(T) = [v0 + (mg/γ)]e^[-(γ/m)t] - mg/γ = 0

より
　e^[-(γ/m)T] ＝ (mg/γ)/[v0 + (mg/γ)]
→　-(γ/m)T = log{(mg/γ)/[v0 + (mg/γ)]}
→　T = -(m/γ)log{(mg/γ)/[v0 + (mg/γ)]}
　　　= (m/γ)log{[v0 + (mg/γ)]/(mg/γ)}
　　　= (m/γ)log{γv0/(mg) + 1}

最高点での高さは、これを⑦に代入して
　x(T) = [ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g]{1 - (mg/γ)/[v0 + (mg/γ)]} - (mg/γ)(m/γ)log{γv0/(mg) + 1}
= [ｍ･v0/γ + (m/γ)^2･g]{v0/[v0 + (mg/γ)]} - (m/γ)^2･g･log{γv0/(mg) + 1}
= ｍ･v0/γ - (m/γ)^2･g･log{γv0/(mg) + 1}

途中に計算間違いがあるかも。

No.2 回答者： pooh2016 回答日時： 2023/07/13 09:27

位置エネルギーはmgh

運動エネルギーが1/2ｍv＾2であらわされます。
総エネルギーはｍgｈ+1/2mv^2　となります。

地上でv0で発射するときは
総エネルギー＝0＋1/2mv0^2

最長点ではｖ＝0となりますから、その時の高さをｈとすると
総エネルギー＝mgh＋0

エネルギー保存則から
mgh＝1/2mv0^2
h=(1/2g)v0^2
これが答えですね。



逆の問題にも対応可能です。
ｈの高さから物体を落下させたときその物体が地上に着く時の速さは？
1/2v^2＝h
v＝√(2gh)　となります。

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/07/13 08:39

速さが0ですか……。