場合の数、確率 43 図形 三角形の個数

本題

取り敢えず、１つの頂点を固定してい見る

n=1 のとき

順に点をA,B,C,D,E,F

とし、

頂点Aで固定してみる

(1)　4個？
(2) 直径になる場合の数は、1個( 固定しているので),残り4頂点
　　違う、固定しても３本　？
(3) これは、(2)の正三角形が絡んでしまう

(4)
そもそも、全事象は 6C3

これを活かして考えたいけど、よくわかりません

教えていただけると幸いです

以下問題

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https://imgur.com/a/v6gCH9C

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質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  (3)
  二等辺三角形になるとき
  
  底辺となる線分を座標設定して考えた
  対称性を活かし第３象限のみで考えた
  
  以下答案
  
  _________________________
  
  https://imgur.com/a/IaC0oFH
  
  _____________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/07/29 10:44

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/27 21:17

nを自然数とする

正6n角形の異なる3頂点を結んで3角形を作る
正6n角形の外接円の中心をOとする

(1)正3角形の個数
2n

頂点Aの選び方は6n通り
∠AOB=120°となるBの選び方は2通り
△ABCが正3角形となるCの選び方は1通り
A,B,Cを入れ替えても同じだから
6n*2/3!
=
2n
個

(2)直角3角形の個数
6n(3n-1)

頂点Aの選び方は6n通り
∠AOB=180°となるBの選び方は1通り
Cの選び方は6n-2通り
A,Bを入れ替えても同じだから
6n(6n-2)/2
=
6n(3n-1)
個

(3)2等辺3角形の個数
2n(9n-5)

正3角形でない2等辺3角形の
頂点Aの選び方は6n通り
∠AOB<180°
∠AOB≠120°
となるBの選び方は6n-4通り
|AB|=|AC|となるCの選び方は1通り
B,Cを入れ替えても同じだから
正3角形でない2等辺3角形は
6n(6n-4)/2=6n(3n-2)通りだから
2等辺3角形は
6n(3n-2)+2n
=
2n(9n-5)
個

(4)鈍角3角形の個数

頂点Aの選び方は6n通り
60/n°<∠AOB<180°
となるBの選び方は6n-4通り
∠ACB>90°となるCの選び方は
k=(n∠AOB/60)-1
通り
1≦k≦3n-2

Σ_{k=1～3n-2}k=(3n-2)(3n-1)/2

6n(3n-2)(3n-1)/2
=
3n(3n-2)(3n-1)
個

この回答へのお礼

教授

本当に暑い毎日ですね

返信が遅くなり申し訳ございませんでした

ご回答ありがとうございます

興味深く読ませていただきました

凄いと思いました

私の答案も載せておきます

以下答案

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https://imgur.com/a/IaC0oFH


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from minamino

お礼日時：2023/07/29 10:39

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/26 20:51

「個数」って, どう数えるのかねぇ.